Контрольные задания к задаче 1

ЗАДАНИЕ 1 а. Найти и функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ № 1 б. Найти и функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Пример 4. Показать, что при .

Решение. Сначала найдем первые частные производные

Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.

Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось показать.

Экстремумы функции

(максимум и минимум )

а) Необходимые условия: если в точке функция имеет экстремум, то в этой точке. – критическая (стационарная) точка.

б) Достаточные условия: если – критическая точка и

в этой точке, то – точка экстремума. Причем, если , то – точка максимума, если , то – точка минимума. Чтобы найти экстремум, надо вычислить .

Пример 5. Найти минимум и максимум функции .

Решение. Найдем стационарные точки, в которых (необходимые условия экстремума):

.

Решим систему уравнений

+ .

Найдены три стационарные точки: . Исследуем их на экстремум с помощью достаточных условий:

;

, , ;

.

1) ,

отсюда следует, что в точке функция z имеет минимум

.

2) – неизвестно, есть ли экстремум.

3) ,

отсюда следует, что в точке функция z имеет минимум, .

Ответ: Данная функция имеет минимум в двух симметричных точках и , скорее всего в точке у нее максимум .

Задача 2 Исследовать на экстремум функцию .

Решение

Найдем сначала стационарные точки, т.е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю.

Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.

Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка .

Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум и, если есть, какой.

Составляем определитель .

Так как , то экстремум существует. Так как , то в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.

.

Ответ: .

Контрольные варианты к задаче 2.

Исследовать на экстремум:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Наибольшее и наименьшее значения функции