Производная функции по направлению. Градиент.

Рассмотрим функцию двух переменных Z=f(x,y). По определению частной производной функции fв точке (x₀,y₀) по переменной x мы фиксировали величину y₀ и придавали приращение переменной x. Можно сказать, что мы вычисляли производную функцию f «в направлении» оси Ox, и частная производная характеризует изменение функции f в направлении оси Ox.

Рисунок 1.

В том же смысле можно сказать, что частная производная – производная в направлении оси Oy. В практических задачах возникает вопрос: как меняется функция при изменении переменных в произвольном направлении? Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M₀ = (x₀,y₀) R². Возьмем произвольный единичный вектор и число . Рассмотрим точку (Смотреть рисунок 1). Пусть число h таково, что точка Рассмотрим приращение функции f в точке M₀: вызванное приращением переменных , .

Рисунок 2.

Определение. Если существует предел то он называется производной функции f в точкеM₀ = (x₀,y₀) по направлению вектора и обозначается

В случаях, когда b=0 или a=0, производная по направлению {a,b} является производной по переменной x или по переменной y соответственно. Для вычисления производной по направлению используется следующая теорема. Обозначим α и β углы, которые образует вектор {a,b} с положительными направлениями координатных осей. Тогда, поскольку .

Теорема. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке (x₀,y₀), то в этой точке f имеет производную по любому направлению , при этом .

Доказательство. Функция - функция двух переменных x и y, каждая из которых является в свою очередь функцией одной переменной h:

По правилу вычисления производной сложной функции имеем:

.

С другой стороны, Отсюда и следует утверждение теоремы.

Следствие 1. Если функция f(x,y) имеет в окрестности точки M₀ = (x₀,y₀) частные производные, непрерывные в этой точке, то она имеет в M₀ производную по любому направлению.

Определение. Вектор называется градиентом функции f в точке и обозначается grad() или . Используя понятие скалярного произведения векторов, можно записать в виде: .

Таким образом, производная функции f в точке по направлению равна скалярному произведению градиента f в точке на вектор .

Пусть ϕ– величина угла между векторами и . Тогда используя формулу скалярного произведения векторов можно записать: (формула 1), так как

Предположим, что . Вычислим производную функции f в точке в направлении В этом случае 𝝋=0, значит, . Тогда (формула 2).

Поскольку из (формулы 1) и (формулы 2) следует, что производная функция f по направлению в точке достигает своего максимального значения, когда . Заметим, что направление градиента – это единственное направление, по которому производная принимает максимальное значение, так как, только в случае, когда 𝝋=0.

Date: 2016-07-05; view: 345; Нарушение авторских прав