Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Максимумы и минимумы функцииИнтервал , где >0, называется окрестностью точки . Если функция y=f(x) определена на промежутке (a, b), то внутренняя точка этого промежутка называется точкой максимума функции f(x) (точкой минимума функции f(x)), если существует такая окрестность точки , в которой для всех x выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Необходимое условие экстремума. Если в точке достигается экстремум функции, то в точке производная равна нулю или не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки . а) Если при x < и при x > (т.е. при переходе через производная меняет знак + на знак -), то в точке функция достигает максимума; б) Если для x < и для x > (т.е. при переходе через производная меняет знак – на знак +), то в точке функция достигает минимума; в) Если при переходе через производная знак не меняет, то в точке экстремума нет. Второе достаточное условие экстремума. Пусть в критической точке функция f(x) дважды дифференцируема. Если при этом , то в точке функция достигает максимума, если , то в точке достигается минимум функции f(x). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = ; Решение. Критическими точками являются корни уравнения т.е. точки , . В примере 1 установлено, что: для x <-1 для -1< x <4, поэтому в точке = -1 достигается максимум функции f( -1 ) =20.
Справедливо также неравенство: для x >4, поэтому в точке = 4 достигается минимум функции f( 4 ) = -105. ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = . Решение. Критические точки определяются из уравнения т.е. =0, =2. Ранее были установлены следующие неравенства: для x <0, для 0< x <2, для 2< x <+ . Таким образом, при переходе через =0 производная меняет знак с – на знак +, а при переходе через =2 со знака + на знак -, поэтому в точке =0 достигается минимум, равный f( 0 ) =0, а в точке =2 – максимум, равный f( 2 ) =0.541. ПРИМЕР 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = . Решение. Критические точки находятся из уравнения , отсюда = -1, =1. Так как справедливы неравенства 1+ >0 для - < x <+ , 1- <0 для - < x <-1, 1- >0 для -1< x <1, 1- <0 для 1< x <+ , то в точке =-1 достигается минимум, равный f( -1 ) = -0.5, а в точке =1 максимум, равный f( 1 ) =0.5.
ПРИМЕР 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) = . Решение. . Отсюда видно, что точка х=0 – точка минимума.
УПРАЖНЕНИЯ Исследовать на экстремум следующие функции: 2.82. f(x) = ln(1- ); 2.83. f(x) = ; 2.84. f(x) = ; 2.85. f(x) = x - ln(1+ ). 2.86. f(x) = ; 2.87. f(x) = ; 2.88. f(x) = . 2.89. 2.90. 2.91. 2.92. 2.93.
Ответы к упражнениям 2.82. Точка максимума , f( 0 ) = 0; 2.83. Точка максимума = 0.5, f( 0.5 ) =24.25, точка минимума =3, f( 3 ) = -154; 2.84. Точка максимума =1.5, f( 1.5 ) = 0.168; 2.85. Функция монотонно возрастает, экстремумов нет; 2.86. Точка максимума =0, f( 0 ) =1, точки минимума =2, f( 2 ) =1, = -2, f( -2 ) =1; 2.87. Точка максимума =1, f( 1 ) =1, точка минимума = -1, f( -1 ) = -1; 2.88. Точка минимума = , f( ) = . 2.89. 2.90. 2.91. экстремумов нет. 2.92. . 2.93.
|