Четность и нечетность

Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений x и – x из области определения f(-x)=f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Заметим, что если функция y=f(x) четная или нечетная, то об­ласть ее определения симметрична относительно центра О. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций - функция четная.

ПРИМЕР. Функция y= (рис. 2.3) является четной (так как f(-x)= = и f(-x)=f(x), а функция y= (рис. 2.8) – нечетной (так как f(-x)= = и f(-x)= -f(x)).

В то же время, функция y= + (рис. 2.9) является функцией общего вида, так как f(-x) = , f(-x) f(x) и f(-x) -f(x).

Рис. 2.8 Рис. 2.9

ПРИМЕР 1. Выяснить четность (нечетность функций):

1. ; 2. ; 3. .

Решение.

1. Так как то данная функция нечетная;

2. Так как то данная функция четная;

3. Так как и , то данная функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

УПРАЖНЕНИЯ

Выяснить четность (нечетность) функций:

2.39. .

2.40. .

2.41. .

2.42.

2.43.

2.44.

2.45.

2.46.

2.47.

2.48.

2.49.

2.50.

2.51.

2.52.

2.53.

Ответы к упражнениям

2.39. Четная. 2.40. Нечетная. 2.41. Нечетная. 2.42. Общего вида. 2.43. Нечетная. 2.44. Нечетная. 2.45. Четная. 2.46. Нечетная. 2.47. Общего вида. 2.48. Четная. 2.49. Нечетная. 2.50. Общего вида. 2.51. Четная. 2.52. Нечетная. 2.53. Общего вида.

Ограниченность

Функция f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M >0, что M для любого x X. В противном случае функция называется неограниченной.

ПРИМЕР 1. Функция y= (рис. 2.10)ограничена на всей числовой оси, ибо для любого x R.

Рис. 2.10

Периодичность

Функция y=f(x) называется периодической с периодом T 0, если для любых x и x+T из области определения функции f(x+T)=f(x).

ПРИМЕР. Функция y= (рис. 4)имеет период T= 2 (n N), так как для любых x = .

УПРАЖНЕНИЯ

Найти наименьший положительный период функций:

2.54.

2.55.

2.56.

2.57.

2.58.

2.59.

Ответы к упражнениям

2.54. . 2.55. . 2.56. . 2.57. . 2.58. . 2.59. .