Общая схема исследования функции

1. Нахождение области определения.

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат. Точки пересечения с осью ОХ: (,0), где - решение уравнения f(x)= 0. Точки пересечения с осью ОY: (0, f( 0 )).

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции. Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е. f(x) >0 или f(x) <0.

5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек.

6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума.

7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба.

1. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва. Нахождение вертикальных, горизонтальных, наклонных асимптот.

2. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Исследовать функцию f(x) = и построить график;

1. D (f) =ℝ .

2. f(-x) f(x) и f(-x) -f(x), следовательно, f(x) - функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат:

OX: y= 0, , x = -1, x =3; (-1,0), (3,0);

OY: x= 0, f( 0 ) = - ; (0,- ).

4. Промежутки знакопостоянства:

f(x)< 0 при x (- ,-1) (-1,3) (3,+ )

5. Найдем производную функции, промежутки возрастания, убывания, точки экстремума

Область определения производной функции: D () = R.

= 0, x= -1, x= 3, x= 1.

f(x) возрастает на промежутках (- ,-1] и [1,3];

f(x) убывает на промежутках [-1,1] и [3,+ ).

Точки экстремума: , f( 1 ) = -1;

, f( -1 ) = 0;

, f( 3 ) = 0;

6. Найдем промежутки выпуклости, вогнутости функции и ее точки перегиба.

После преобразований получим, что

.

Обозначим

Таким образом, получим

7.

1.Вертикальных асимптот нет, так как f(x) определена(и непрерывна) на всей числовой прямой.

Исследуем поведение функции на бесконечности.

2. Исследуем на наличие горизонтальных асимптот.

f(x) = = ,

f(x) = = .

Таким образом, горизонтальные асимптоты отсутствуют.

3. Исследуем на наличие наклонных асимптот.

= = .

Таким образом, наклонные асимптоты отсутствуют.

8. Дополнительные точки: f( -3 ) = -9, f( 5 ) = -9.

9. Построим график функции:

Рис.2.16

УПРАЖНЕНИЯ

Исследовать и построить графики следующих функций:

3.1. f(x)= ;

3.2. f (x)= ;

3.3. f(x)= ;

3.4. f(x)= ;

3.5. f(x)= ;

3.6. f(x)= ;

3.7. f (x)= ;

3.8. f (x)= 1+ ;

3.9. f (x)= ;

3.10. f(x)= .

Ответы к упражнениям

3.1. 3.2. 3.3.

3.4. 3.5. 3.6.

3.7. 3.8. 3.9.

3.10.