Возрастающие и убывающие функции

Пусть на отрезке [ a, b ] определена непрерывная функция f(x). Далее, пусть , , < - произвольные числа из промежутка [ a, b ]. Функция f(x) называется на промежутке [ a, b ]:

· неубывающей, если выполняется неравенство f() f();

· возрастающей, если выполняется неравенство f() < f() (рис. 2.11);

· невозрастающей, если выполняется неравенство f() f();

· убывающей, если выполняется неравенство f()>f() (рис.2.12).

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Пусть функция f(x) имеет внутри промежутка [ a, b ] конечную производную. Тогда:

1) Для того, чтобы f(x) была неубывающей (невозрастающей) на [ a, b ], необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство ();

2) Для того, чтобы f(x) была возрастающей (убывающей), необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство ().

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Определить промежутки возрастания и убывания функций:

1. f(x) = ; 2. f(x) = ; 3. f(x) = ;

Решение. 1. Решение задачи сводится к нахождению промежутков, где производная функции сохраняет знак. Находим производную:

.

Знак производной определяется знаком квадратного трехчлена

,

где = -1 и = 4 – корни трехчлена. Так как коэффициент при -- положительное число, то имеют место неравенства:

(x +1)(x -4)>0 для x <-1;

(x +1)(x -4)<0 для -1< x <4;

(x +1)(x -4)>0 для x >4.

Поэтому промежутки (- ,-1) и (4,+ ) являются промежутками возрастания, а промежуток
(-1,4) – промежутком убывания функции f(x).

2. Производная имеет вид:

.

Знак производной определяется знаком выражения x (2- x), так как для любого . Очевидны неравенства:

x (2- x)<0 для - < x <0,

x (2- x)>0 для 0< x <2,

x (2- x)<0 для 2< x <+

Поэтому на промежутках (- ,0) и (2,+ ) функция f(x) убывает, а на промежутке (0,2) возрастает.

3. Производная функции равна:

Так как 1+ >0 для , то знак производной определяется выражением 1- , при этом

1- <0 для - < x <-1,

1- >0 для -1< x <1,

1- <0 для 1< x <+ .

Поэтому на промежутках (- ,-1) и (1,+ ) функция убывает, а на промежутке (-1,1) возрастает.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций:

2.60. f(x) = ln(1- );

2.61. f(x) = 4 ;

2.62. f(x) = ;

2.63. f(x) = ;

2.64. f(x) = ;

2.65. f(x) = ;

2.66. f(x) =

2.67.

2.68.

2.69.

2.70.

2.71.

2.72.

Ответы к упражнениям

2.60. (-1;0) – промежуток возрастания, (0;1) – промежуток убывания; 2.61. (- ;0.5) и (3;+ ) – промежутки возрастания, (0.5;3) – промежуток убывания; 2.62. (- ;1.5) – промежуток возрастания, (1.5;+ ) – промежуток убывания; 2.63. (- ;-2- ) и (-2+ ;+ ) – интервалы возрастания, (-2- ;-2) и (-2;-2+ ) – промежутки убывания; 2.64. (-1;0.5) и (5;+ ) – промежутки возрастания, (- ;-1) и (0.5;5) – промежутки убывания; 2.65. (1;+ ) – промежуток возрастания, (0; ) и (;1) – промежутки убывания; 2.66. ()- промежуток возрастания, ()- промежуток убывания. 2.67. функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках . 2.68. функция возрастает на всей числовой оси. 2.69. функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках . 2.70. функция возрастает на всей числовой оси. 2.71. функция возрастает при и и убывает при . 2.72. функция возрастает при и убывает при .