Непрерывность функции. Точки разрыва функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Функция f(x) непрерывна в точке x₀ , если ее предел в точке x₀ равен f(x₀) (значению функции в данной точке), т. е.

.

Иначе говоря, функция удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в некоторой окрестности точки (т.е. существует f (x ₀));

2) имеет конечный предел ;

3) .

Так любая элементарная функция непрерывна в каждой точке области ее определения.

Пример непрерывной функции:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

0 x₀-D x₀ x₀+D x

Рис. 2.1

Функция, не являющаяся непрерывной в некоторой точке, называется разрывной в этой точке (имеет или терпит разрыв в точке). Сама точка называется точкой разрыва функции.

Пример разрывной функции:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

x₀ x

Рис. 2.2

Различают точки разрыва второго и первого рода. Точки разрыва первого рода могут быть точками устранимого разрыва (в точке существуют оба конечных односторонних предела, равные между собой, но не равные значению функции) и неустранимого разрыва (конечные односторонние пределы существуют, но не равны между собой). В точках разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Доказать непрерывность функции в точке x₀=0 или установить характер точки разрыва в этой точке:

ПРИМЕР 1. y= .

Рис. 2.3

Функция y= (рис.2.3) непрерывна в точке x₀=0, так как она является элементарной, и x₀ =0 входит в область ее определения.

ПРИМЕР 2.

Рис. 2.4

Функция y= (рис.2.4) не является непрерывной в точке x₀=0, т.к. не выполнено условие 3 в определении непрерывности. Точка х₀=0 – точка разрыва первого рода (конечные односторонние пределы равны между собой, но не равны значению функции в точке х₀=0), причемэто точка устранимого разрыва. Действительно,

ПРИМЕР 3. .

Функция y= (рис.2.5) не является непрерывной в точке x₀=0, т.к. не выполнено условие 3 в определении непрерывности. Точка х₀=0 – точка разрыва первого рода (конечные односторонние пределы существуют, но не равны между собой).

Действительно,

Такой разрыв неустраним.

Рис.2.5

ПРИМЕР 4.

Рис.2.6

Функция y= (рис.2.6) не является непрерывной в точке x₀=0, т.к. не выполнено условие 1 в определении непрерывности.

Для установления характера точки разрыва найдем односторонние пределы

Таким образом, точка х₀=0 – точка разрыва второго рода (оба односторонних предела равны бесконечности).

ПРИМЕР 5. .

Рис.2.7

Функция y= (рис.2.7) не является непрерывной в точке x₀=0, т.к. не выполнено условие 1 в определении непрерывности.

Для установления характера точки разрыва найдем односторонние пределы

Таким образом,точка х₀=0 – точка разрыва второго рода (один из односторонних пределов равен бесконечности).

ПРИМЕР 6. .

Рис.2.8

Функция y= (рис.2.8) не является непрерывной в точке x₀=0, т.к. не выполнено условие 1 в определении непрерывности.

Кроме того,

не существуют.

Поэтомуточка х₀=0 – точка разрыва второго рода.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать непрерывность функции в точке x₀=1 или установить характер точки разрыва в этой точке:

2.26. ;

2.27. ;

2.28. ;

2.29.

При каких значениях А и В функция непрерывна?

2.30.

2.31.

Исследовать на непрерывность и разрыв функции

2.32.

2.33.

2.34.

2.35.

2.36.

2.37.

2.38.

Ответы к упражнениям

2.26. x=1 – точка устранимого разрыва первого рода. 2.27. Непрерывная. 2.28. х=1 – точка разрыва второго рода. 2.29. x=1 – точка разрыва второго рода. 2.30. А=-1, В=1. 2.31. А=-2, В=0. 2.32. функция непрерывна во всех точках числовой оси, кроме х=1 (т. разрыва 2 рода). 2.33. функция непрерывна во всех точках числовой оси, кроме х=0 (неустранимая т. разрыва 1 рода). 2.34. функция непрерывна во всех точках числовой оси, кроме х=2 (неустранимая т. разрыва 1 рода) 2.35. х=1- т. устранимого разрыва; х=-2 – т. разрыва 2 рода. 2.36. х=0 – т. разрыва 2 рода. 2.37. х=0 – т. разрыва 2 рода. 2.38. х=0 - т. устранимого разрыва.