Понятие и основные свойства функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении S=vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.

Перейдем к понятию функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому элементу x множества X (x X) ставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (y Y), то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x).

При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество X называется областью определения (или существования) функции и обозначается , а множество Y – областью значений функции и обозначается .

Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной x, т.е. множество таких значений x, при которых функция y=f(x) вообще имеет смысл.

Пусть есть функция от независимой переменной x, определенной на множестве X с областью значений Y. Поставим(если это возможно) в соответствие каждому единственное значение , при котором Тогда полученная функция , определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной. Будем записывать обратную функцию в виде или, по аналогии с обозначением обратной величины, . Известно, что функция имеет обратную на промежутке (a;b) тогда и только тогда, когда она строго монотонна на этом промежутке (см. раздел 2.8).

Среди функций выделяют основные элементарные функции, к ним относятся степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются э лементарными (подробнее см. раздел 2.9).

ПРИМЕР 1. Область определения функции y= есть полуинтервал (- ; 10], так как 10- x 0; если же переменная x обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии x 0 областью определения функции будет отрезок [0; 10].

Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида y=f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция y = , рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует путать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция y=

имеет два аналитических выражения (при x <0) и x +3 (при x 0).

При этом различают функции, заданные явно, и функции, заданные неявно. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит независимой переменной; например, функция

Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением ,не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция y(), заданная уравнением .

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции f(x), пример:

в) Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(x) = 1, если x – рационально; f(x) = 0, если x – иррационально.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Найти область определения функций:

1. ; 2. .

Решение.

1. Область определения функции найдем из системы неравенств откуда или .

2. Область определения функции найдем из системы неравенств откуда и С помощью числовой оси находим, что .

ПРИМЕР 2. Найти область значений функций:

1. .

Решение.

Выразим x через y. Получим функцию , заданную неявно квадратным уравнением Область определения этой функции найдется из условия, что дискриминант

, т. е. или . Таким образом, Отсюда также следует, что функция является ограниченной.

2. .

Решение.

Преобразуем функцию

Отсюда видно, что область значений функции

УПРАЖНЕНИЯ

Найти область определения функций:

2.1. .

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

Найти область значений функций:

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

Ответы к упражнениям

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. множество вещественных чисел 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. . 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25.