Формула Тейлора
Пусть функция голоморфна в точке . Тогда она голоморфна и в некоторой окрестности точки . Окружим эту точку контуром Г, лежащим в указанной окрестности.
Внутреннюю область, ограниченную Г, обозначим через U.

Запишем интегральную формулу Коши

при .
Преобразуем

Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии
.
Отсюда
.
Применим последнюю формулу, полагая . Тогда

.
Воспользуемся формулами (6.6) из §6 для производных, тогда получим формулу Тейлора
, (7.1)
в которой остаточный член
. (7.2)
Функция является непрерывной на Г, поэтому
.
будет интегралом типа Коши, построенным для этой функции, и, следовательно, функция – голоморфна внутри Г. При этом
.
Формулу Тейлора можно записать в виде
. (7.3)
где функция голоморфна в U. При этом
(7.4)
в силу формулы Коши для производных.
Оценка остатка формулы Тейлора. Рассмотрим произвольную голоморфную функцию в области D. Пусть . Напишем формулу Тейлора для функции в точке .
.
Оценим функцию –остаток в формуле Тейлора в такой круговой окрестности точки , которая целиком вписывается в область D.

Пусть - это круг радиуса с центром в точке , который вместе со своей границей, окружностью , лежит в области .
Наша цель – оценить при . Для этого мы применим формулу (6.2) из предыдущего параграфа, взяв в качестве контура Г окружность .
Тогда получим


Обозначим через , тогда мы можем оценить максимум числителя, и получить продолжение предыдущей оценки, учитывая, что ,
= .
Таким образом,
,
Это и есть нужная нам оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Принципиально важным является то, что остаточный член довольно быстро стремится к нулю при росте . В самом деле, при по определению , и поэтому . Это значит, что остаточный член по модулю оказывается не превосходит убывающей геометрической прогрессии. То есть при мы получим , т.к. .
Теорема Тейлора для голоморфных функций. Как прежде предположим, что функция – голоморфна в области . Пусть , и рассмотрим произвольный открытый круг с центром в точке , который целиком вписывается в область . Обозначим его радиус через .
Теорема (Тейлора). Для любого из круга , справедливо равенство
.
Доказательство. Пусть . Рассмотрим замкнутый круг радиуса с центром в точке , который с одной стороны содержит точку внутри, то есть , а с другой стороны пусть .

Оценим теперь разность между и суммой , опираясь на оценку остаточного члена в формуле Тейлора
.
Тогда при имеем , или .
Теорема доказана.
Выражение вида называется рядом Тейлора функции с центром в точке .
Таким образом, утверждение теоремы Тейлора состоит в том, что в любом круге с центром в точке , который вписывается в область голоморфности функции , эта голоморфная функция совпадает со своим рядом Тейлора с центром в точке .
Теорему Тейлора еще можно сформулировать и так. Если функция голоморфна в круге , то всюду в этом круге, то есть при справедливо равенство
.
Date: 2016-01-20; view: 584; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|