Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тригонометрические функции. Из равенства (2.2) вытекает знаменитая формула Эйлера
для вещественных . Далее . Из двух последних равенств следует, что , . (2.6) Поэтому естественно положить , . (2.7) Так определенные функции будут заданы при всех комплексных и при вещественных (то есть при ) будут, в силу (2.6), совпадать с и соответственно. Из (2.7) непосредственными вычислениями можно показать, что все формулы сложения, формулы приведения для тригонометрических функций переносятся с вещественной на комплексную переменные. Для иллюстрации проверим знаменитое равенство . В самом деле
В вещественном анализе из этого тождества делается вывод о том, что синус и косинус – ограниченные функции. В случае комплексных переменных это не так. Более того, оказывается, что на комплексной плоскости эти две функции принимают все комплексные значения. То есть уравнения , имеют решения при любых . Рассмотрим для краткости только случай косинуса . Тогда и . Положим , тогда , и поэтому . (Заметим, что теперь корень можно извлечь из любого комплексного числа.) Значит , поэтому , если . Из формул Виета следует, произведение корней и равно единице (свободному члену в квадратном уравнении), поэтому ни , ни неравны нулю. Следовательно, решение
существует при любом . В частности, решение уравнения естественно назвать . Таким образом получим, что . Аналогично можно показать, что . Уравнение имеет решение
, то есть обращается в нуль в тех же точках, что косинус вещественного переменного. Иными словами расширение области определения не добавило нулей этой функции. То же самое относится и к функции . Она обращается в нуль в точках , где . Функции в силу вышесказанного определена при всех, где . Аналогично определена при , где
|