Интегральные формулы для производных голоморфной функции

Вернемся к интегральной формуле Коши

(6.5)

Если это равенство формально продифференцировать по z, то получим серию формул

; (6.6)

Чтобы обосновать дифференцирование под знаком интеграла, достаточно сослаться на лемму, если положить

и отметить, что

Очевидно, что все эти функции непрерывны по совокупности переменных поскольку в числителе и знаменателе стоят непрерывные функции и знаменатель не обращается в нуль при внутри и . Таким образом, формулы (6.6) для производных обоснованы. В частности, нами доказано, что голоморфная в области функция имеет производные всех порядков.

Интеграл типа Коши. При проверке выполнения условия леммы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла не использовалось то, что функция голоморфна. Достаточно было только, чтобы функция была непрерывной по .

Поэтому, если -непрерывная на Г функция, то интеграл

(6.7)

можно дифференцировать по z под знаком интеграла.

Следовательно, этот интеграл будет определять голоморфную функцию внутри области G ограниченной кривой Г. Более того, так же проверяется, что функция (6.7) будет голоморфной и вне контура Г. Интеграл (6.7) называется интегралом типа Коши. Он порождает две голоморфные функции: одну внутри Г и одну вне Г. Если - голоморфная в G функция, то, как это следует из (6.2), внешняя функция тождественно равна нулю. Поэтому при переходе через Г функция терпит скачок. Аналогичное явление происходит и с интегралом типа Коши в общем случае.

Date: 2016-01-20; view: 649; Нарушение авторских прав