Свойства показательной функции

Также как и для вещественной функции показатели степени складываются при перемножении значений функции, то есть

(2.3)

для любых и из .

В самом деле, числа и по определению выступают в тригонометрической форме:

и

Поэтому их произведение легко находятся

(2.4)

(модули перемножаются, а аргументы складываются). Но то, что стоит справа в (2.4) - это по определению равно так как для вещественных и справедливо .

Из равенства (2.3) сразу следует, что

.

Легко видеть, что , и поэтому

при любом Это означает, что комплексная показательная функция оказывается периодической с комплексным периодом . Понятно, что любое число вида при целом также будет периодом. Можно проверить, что никаких других периодов показательная функция не имеет.