Интеграл функций комплексного переменного по кривой

Пусть - кусочно-гладкая кривая и представляющий ее кусочно гладкий путь. Предположим, что на множестве точек кривой определена непрерывная функция Интегралом от функции по кривой называют величину

(5.1)

(Иногда вместо "интеграл по кусочно-гладкой кривой " говорят "интеграл по контуру ")

В силу непрерывности сложной функции и кусочной гладкости функция будет кусочно непрерывной и, следовательно, интеграл от нее определен.

Заметим еще, что этот интеграл не зависит от выбора кусочно гладкого пути, представляющего . Действительно, если кусочно гладкий путь эквивалентен пути и функция осуществляет эту эквивалентность: , то под интегралом справа в (5.1) можно сделать замену переменного . Тогда, используя правило замены переменного и формулу производной сложной функции, получаем

Таким образом, определение (5.1) корректно.

Из свойств определенного интеграла непосредственно вытекают свойства интеграла (5.1).

1. Интеграл суммы двух функций по кривой равен сумму их интегралов по этой кривой.

2. Постоянный (комплексный) множитель выносится за знак интеграла.

3. Если на кривой поменять направление на противоположное. Вместо пути взять путь то интеграл меняет знак.

4. Если кривая разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям

Если кривая замкнута, то интеграл по ней записывается в виде

Примеры вычисления интегралов.

1. , тогда

(5.2)

Если кривая замкнута, то и

2. .

Мы воспользовались тем, что

Для замкнутой кривой

(5.3)

3. Пусть - окружность с центром в точке и радиуса с выбранным на ней направлением против часовой стрелки. В качестве пути, представляющего данную кривую можно выбрать отображение отрезка в вида

.

Действительно, и, следовательно, точка пробегает окружность в заданном направлении.

Пусть теперь . Тогда с помощью формулы Муавра получаем

Если , то в силу периодичности cos и sin, справа получается нуль. Если же , то нужно остановиться на предпоследнем равенстве, из которого видно, что стоящая в нем величина равна .

Таким образом,

при , и

(5.4)

Эти интегралы играют важную роль в дальнейшем.

Оценка интеграла. Из определения (5.1) и неравенства (4.1) из параграфа 4 получаем

Из свойств определенного интеграла и формулы (4.2) вытекает, что

(5.5)

Аппроксимация интеграла интегральной суммой. Пусть кривая с кусочно-гладким определяющим путем , где (). Разобьем отрезок [a,b] на части точками . Точки тогда разбивают кривую на части, которые обозначаем через .

Составим интегральную сумму

(5.6)

Мы хотим сравнить эту сумму с интегралом по кривой .

Для этого преобразуем (5.6) в силу (5.2)

С другой стороны, по свойствам интеграла

Поэтому

В силу равномерной непрерывности функции для любого при достаточно мелком разбиении кривой на части имеем

Тогда

Таким образом, интеграл от функции по кривой может быть с любой точностью аппроксимирован интегральной суммой.

Аппроксимация интеграла по кривой интегралом по ломаной. Предположим теперь, что функция определена и непрерывна не только на кривой , но и в некоторой области , содержащей кривую . Разобьем кривую на конечное число частей точками . Выберем разбиение столь мелким, чтобы все круги лежали в и чтобы в этих кругах выполнялись неравенства

(5.7)

где заданное число.

Обозначим через ломаную с вершинами в точках (в порядке следования), а через её звенья, соединяющие точки и . Сравним интегралы от функции по кривой и по ломаной . Имеем

Здесь мы воспользовались тем, что

Из предыдущего получаем

кривая и отрезок лежат в круге, где выполнено неравенство (5.7) и, кроме того , поэтому

Таким образом, при достаточно малом разбиении интеграл по ломаной сколько угодно близок к интегралу по кривой .