Дифференцируемость функции в смысле комплексного анализа

Дифференцируемость в точке, производная. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если , то - приращение функции в точке .

Рассматривается предел

(3.1)

Если он существует, то по аналогии с обычным анализом он называется производной функции в точке и обозначается через , а функция называется дифференцируемой в точке . Однако в этом определении имеется существенная особенность. Приращение , как и любое комплексное число, имеет модуль и аргумент : . Под знаком предела написано , то есть предполагается, что предел не зависит от , то есть он не зависит от того пути, по которому точка приближается к точке . Для того, чтобы подчеркнуть это, при существовании предела (3.1) в указанном смысле говорят, что функция дифференцируема в точке в смысле комплексного анализа.

Вспоминая определение предела, для дифференцируемой можно записать

где при , или

(3.2)

(Отсюда, в частности, следует, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, потому что приращение функции будет стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента.)

Обозначая , получаем

где при .

Уравнения Коши-Римана. Пусть функция в смысле комплексного анализа в точке . Рассмотрим во что выльются наши определения, если мы будем рассматривать только вещественные приращения, то есть приращения только по , или только чисто мнимые приращения, то есть приращения только по . Итак, пусть сначала . Тогда

Поэтому

И, следовательно,

(3.3)

так как при .

Это означает, что функция одной переменной имеет производную в точке . Эта производная по переменной называется частной производной по и обозначается

То есть по определению частной производной

Поэтому, в силу (3.3) частная производная существует и

(3.4)

Рассмотрим теперь приращение вдоль оси , то есть пусть .

Тогда, в силу (3.2)

где . Следовательно,

В силу дифференцируемости в смысле комплексного анализа, существует предел при , а значит и предел

Таким образом, мы можем сделать вывод, что частная производная функции по переменной существует в точке , и

(3.5)

Объединяя (3.4) и (3.5), заключаем, что, если функция дифференцируема в смысле комплексного анализа в точке , то соответствующая ей функция двух переменных имеет частные производные по и по в точке , и

(3.6)

Равенство

(3.7)

называется уравнением или условием Коши-Римана.

В равенстве (3.7) выделим действительные и мнимые части. Обозначим , тогда

Равенство (3.7) теперь имеет вид

Приравнивая действительные и мнимые части, получим

Эти равенства также называются уравнениями Коши-Римана.

Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций. Отметим, что класс функций, дифференцируемых в смысле комплексного анализа, довольно узок. Самые простые функции комплексного анализа могут быть недифференцируемыми.

Пример 1. . Здесь

Условия Коши-Римана не выполнены, значит функция нигде не дифференцируема.

Пример 2. Проанализируем еще одну функцию с точки зрения дифференцируемости. С помощью условия Коши-Римана легко проверить, что функция не дифференцируема при . По определению можно проверить, что эта функция будет все же дифференцируема в нуле. В самом деле,

Модуль этой функции

Значит

то есть производная функции в нуле существует и равна нулю.

Пример 3. Пусть , где произвольные комплексные числа. Очевидно, что

поэтому

Значит при любом линейная функция дифференцируема в смысле комплексного анализа и

Свойства производной. Основные свойства производных вытекают из свойств пределов и доказываются так же, как и в действительном анализе.

Перечислим их: если функции и дифференцируемы в точке , то

1)

2) ( - комплексное число);

3)

при условии, что

5) Если дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и

Пример 4. Так как функция дифференцируема при любом , то из приведенных свойств вытекает, что любой полином от с комплексными коэффициентами

является дифференцируемой функцией при любом .

Пример 5. Любая рациональная функция (частное двух полиномов)

дифференцируема во всех точках, где знаменатель не равен нулю, то есть во всей комплексной плоскости за исключением корней полинома .

Голоморфные функции. Функция называется голоморфной в точке области определения, если она дифференцируема в смысле комплексного анализа не только в самой точке , но и во всех точках некоторой окрестности точки .

Функция называется голоморфной в области, если она голоморфна во всех точках области.

Заметим, что, если функция голоморфна в области , и ее производная тождественно равна нулю в , то функция постоянна в . Действительно, если , то из равенства (3.7) следует, что частные производные функции по и по тождественно равны нулю в , следовательно, функция постоянна по при любом и постоянна по при любом . Значит она постоянна на любой горизонтальной и вертикальной прямой в области , и поэтому она будет постоянной на любой ломаной с горизонтальными и вертикальными звеньям. Но тогда она постоянна во всей области .

Из определения голоморфной функции видно, что голоморфность в области эквивалентно тому, что всюду в области функция имеет производную. Это следует из того, что всякая точка в области входит туда вместе с некоторой своей окрестностью, и поэтому, если функция всюду в имеет производную, то она будет иметь производную в некоторой окрестности каждой точки области, то есть будет голоморфна.

Раз голоморфная в области функция всюду имеет производную, то она всюду в этой области непрерывна и всюду выполняются условия Коши-Римана:

при .

Оказывается, что верно и обратное утверждение в следующем смысле.

Теорема (Меньшова). Если в некоторой области функция непрерывна, всюду в области существуют частные производные

и всюду в области они удовлетворяют условию Коши-Римана

то функция дифференцируема, то есть голоморфна в данной области.

(Доказательство этой теоремы не может быть приведено в этом курсе ввиду его сложности и объема.)

Этой теоремой можно пользоваться для практической проверки голоморфности функций, если их частные производные легко найти.

Проверим, в частности, голоморфность или, что то же дифференцируемость функции всюду в и найдем ее производную. Заодно и продолжим список примеров дифференцируемых функций.

Пример 6. Функция всюду дифференцируема и .

Так как , то

то есть частные производные, очевидно, есть всюду в . Кроме этого можно видеть, что

Функция непрерывна как произведение непрерывных функций и , зависящих только от одной переменной каждая. Значит по теореме Меньшова голоморфна всюду в , и производная

в силу (3.6).

Пример 7. Проверим, что тригонометрические функции и дифференцируемы всюду в комплексной плоскости и, следовательно, всюду голоморфны.

В самом деле, по определению

(3.8)

Функции и всюду дифференцируемы, поскольку они являются суперпозицией (сложной функцией) двух дифференцируемых функций: и линейных функций и . Теперь очевидно, косинус дифференцируем, поскольку он оказывается полу суммой двух дифференцируемых функций. Аналогично синус оказывается тоже линейной комбинацией дифференцируемых функций.

Используя правила дифференцирования, описанные выше, получим

Таким образом, правило дифференцирования синуса сохранилось и для комплексных переменных.

То же самое справедливо и для комплексного косинуса. В самом деле