Теорема Коши-Гурса

Теорема (Коши-Гурса). Если функция голоморфна в односвязной области , то интеграл от нее по любому замкнутоиу контуру , лежащему внутри области, равен нулю

(5.8)

Доказательство проводится в несколько шагов.

1. Рассмотрим сначала случай, когда является границей треугольника, лежащего внутри . Предположим, что для некоторого такого треугольника с границей

(5.9)

Обозначим через периметр этого треугольника. Разобьем треугольник на четыре равных треугольника, соединив между собой медианы его сторон.

Интеграл по границе каждого треугольника можно представить как сумму интегралов по его сторонам.

Если теперь сложить все интегралы, то интеграл по отрезкам, лежащим внутри исходного треугольника, уничтожаются (интегралы по ним вычисляются в двух противоположных направлениях) и останутся только интегралы по отрезкам, составляющим контур . Таким образом

Модуль правой части равен , отсюда следует, что модуль хотя бы одного слагаемого в левой части не меньше, чем . Обозначим через границу этого треугольника. В силу подобия его периметр будет равен . Аналогично разбиваем этот треугольник на 4 части и, продолжая процесс, строим последовательность вложенных друг в друга треугольников с границами и периметрами , для которых

(5.10)

Эти треугольники имеют общую точку . По условию функция голоморфна в этой точке, и ее можно представить в виде

где , когда . Вычисляем

в (5.2) и (5.3) было показано что и , поэтому

воспользуемся оценкой интеграла (5.5) и тем что , тогда

(5.11)

Сравнивая равенства (5.10) и (5.11), сокращая на , получаем

Когда увеличивается, граница стягивается к точке и поэтому , что противоречит последнему неравенству. Итак, предположение (5.9) привело нас к противоречию, и, следовательно, интеграл по границе любого треугольника, лежащего в , равен нулю.

2. Рассмотрим теперь интеграл по границе любого многоугольника, лежащего в . Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников. Тогда интеграл по границе многоугольника будет равняться сумме интегралов по границам треугольников (интегралы по внутренним разрезам взаимно уничтожаются) и, так как интегралы по границам треугольников равны 0, то и интеграл по границе многоугольника равен нулю.

Пусть теперь - замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая, лежащая в . Как показано в параграфе 3 интеграл по этой кривой можно с любой точностью приблизить интегралом по ломанной. Эта ломанная будет границей многоугольника, который в силу односвязности области будет лежать в и, следовательно, интеграл по его границе будет равен нулю. Число, которое можно с любой точностью приблизить нулем, само равно нулю.

Теорема Коши-Гурса доказана.

Теорема о составом контуре. Рассмотрим подробнее двухсвязную область , ограниченную двумя кусочно- гладкими жордановыми кривыми (область с дырой) и функцию голоморфную в . Если контур не содержит внутри себя дыру, то в силу теоремы Коши-Гурса интеграл по нему равен нулю. Поэтому интересно исследовать интегралы по контурам, содержащим дыру внутри.

Пусть и два таких контура, причем лежит внутри . Направления на контурах и выбраны так, что при движении по этим направлениям дыра остается слева. Криволинейное кольцо ограниченное кривыми и разобьем на два полукольца с помощью двух разрезов и (см. рисунок). Направление на разрезе выберем так, чтобы начало лежало на , а конец на . Эти точки делят кривые и на части и . Составим теперь два замкнутых контура и , где знак ``-'' означает, что на кривой направление изменено на противоположное. Эти контуры не содержат внутри себя дыру и поэтому интегралы по ним в силу теоремы Коши-Гурса равны нулю. Пользуясь свойствами интеграла, каждый из указанных интегралов можно представить как сумму интегралов по четырем частям.

Тогда

При сложении этих равенств интегралы по и взаимно уничтожаются, а интегралы по и в сумме дают интеграл по .

Таким образом,

(5.12)

и, следовательно, интеграл не изменяется при переходе от одного контура к другому.

Пример. Пусть точка внутри контура , тогда

где направление интегрирования берется против часовой стрелки.

Действительно, для окружности этот интеграл вычислен, так как функция голоморфна при неравном , то он будет таким же и для контура .

Доказанное свойство (5.12), как это видно уже на примере, позволяет сводить задачу вычисления интегралов по замкнутым контурам сложной природы к вычислению интегралов по более простым контурам и является мощным средством для вычисления интегралов.

Сформулируем теперь следствие из теоремы Коши-Гурса для многосвязной области, то есть области с большим количеством "дыр". Пусть ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых жордановых кривых, и пусть функция , определенна на замыкании , непрерывна в и голоморфна в . Тогда сумма интегралов от этой функции по всем граничным кривым равна нулю, если направление обхода кривых выбрать, например, так, чтобы при обходе область оставалась слева.

Иными словами интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам и , если во всех случаях берется интеграл по направлению против часовой стрелки и между контурами подинтегральная функция голоморфна. Разумеется аналогичное утверждение справедливо и для большего числа чем два внутренних контуров.

Независимость интеграла от вида пути интегрирования. Пусть функция голоморфна в односвязной области . Возьмем две точки и соединим их двумя различными кусочно-гладкими простыми кривыми и . Из этих кривых можно составить замкнутый контур .

По теореме Коши-Гурса

разбиваем интеграл в сумму двух

отсюда

Следовательно, интеграл от голоморфной в односвязной области функции не зависит от вида пути интегрирования, а зависит только от положения его начала и конца.

В условиях, когда интеграл не зависит от вида пути интегрирования его можно обозначать так

Первообразная функция. Как и в обычном анализе первообразной функцией от данной функции называется функция, производная которой равна данной функции.

По определению для первообразной функции мы имеем . Следовательно, если функция имеет в области первообразную, то эта первообразная дифференцируема в области и поэтому первообразная голоморфна.

Две первообразные от одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если и , , то . Отсюда следует, что или .

Лемма о существовании первообразной. Если функция непрерывна в области и интеграл от нее не зависит от вида пути интегрирования, то она имеет в этой области первообразную.

Доказательство. Зафиксируем точку и введем функцию

(5.13)

Покажем, что она как раз и является искомой первообразной. Вычисляем

Оценим интеграла справа. Поскольку интеграл по условию не зависит от вида пути интегрирования, то можно считать, что часть кривой, соединяющая точки и , является отрезком прямой, тогда

В силу непрерывности функции правая часть стремится к нулю, когда стремится к нулю. Таким образом,

Лемма доказана.

Если функция голоморфна в односвязной области, то она по интегральной теореме Коши-Гурса удовлетворяет всем условиям леммы. Таким образом, справедливо

Следствие. Если функция голоморфна в односвязной области, то она имеет в этой области первообразную.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть - первообразная от голоморфной в односвязной области функции . Из доказательства леммы следует, что функция из (5.13) также является первообразной от . Тогда функции и отличаются на константу, то есть

Значит

или

6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

Формула Коши. Пусть в области G задана функция f(z), голоморфная в G. Рассмотрим кусочно-гладкую простую замкнутую кривую (жорданов контур) такой, что внутренность .

Введем в рассмотрение функцию , где . Эта функция будет всюду в G голоморфной, за исключением точки a.

Построим окружность центром в точке радиуса , лежащую внутри .

Как следует из теоремы о составном контуре

,

так как функция – голоморфна между контурами Г и .

Добавим и отнимем в числителе последнего интеграла. Тогда

так как

Оценим интеграл,

учтя то, что на окружности мы имеем ,

В силу непрерывности функции f(z)

,

а значит и

стремятся к нулю при . Переходя к пределу при в

получаем:

или

(6.1)

при .

Это равенство и называется интегральной формулой Коши. Формула Коши обладает, по крайней мере, двумя свойствами. Во-первых, она позволяет вычислить значение голоморфной функции внутри области, зная ее значения на границе области. Во-вторых, если ее записать так

,

и вспомнить, что интеграл есть предел интегральных сумм, то из формулы будет следовать, что функция f(z) может быть представлена как предел линейных комбинаций простейших функций . Оба эти качества формулы Коши широко используются.

Заметим, что если точка a лежит вне контура Г, то есть ,то внутри Г функция будет голоморфна. По теореме Коши-Гурса интеграл от нее по Г равен 0. Таким образом, если заменить a на z, то получаем:

(6.2)