Функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного. Говорят, что на множестве комплексных чисел определена функция, если каждому числу поставлено в соответствие комплексное число . Если положить , то функцию можно записать в виде . Таким образом, функция задается парой функций, определенных на и принимающих действительные значения. Если положить , то функцию можно записать в виде , и, значит, функция может быть задана парой действительных функций двух действительных переменных.

Комплексная линейная функция. Простейшей является линейная функция
,
где - комплексное число, неравное нулю. Чтобы найти соответствующую пару действительных функций, расписываем
Откуда
, (2.1)
Таким образом, возникает пара линейных функций двух переменных, однако, не произвольных, а связанных между собой. Систему (2.1) можно рассматривать как линейное отображение плоскости на плоскость , задаваемое матрицей
, то есть .
Определитель матрицы равен , так как и, следовательно, она обратима. Для выяснения геометрических свойств полученного отображения воспользуемся тригонометрической формой числа , то есть пусть . Тогда и , и
.
Как известно, матрица справа определяет поворот плоскости вокруг начала координат на угол , а умножение на положительное число дает растяжение плоскости. При этом , а . При указанных преобразованиях сохраняются углы между векторами на плоскости. Такие преобразования называются линейными конформными. Итак, линейная функция комплексного переменного порождает конформное линейное отображение комплексной плоскости.
Рассмотрим теперь функцию . Здесь , т.е. , . Эти равенства порождают отображение симметрии относительно действительной оси.
Показательная функция комплексного переменного. По определению полагают
. (2.2)
Очевидно, что при будет . Таким образом показательная функция является продолжением вещественной показательной функции на всю комплексную плоскость.
Выделим ее действительную и мнимую части
,
модуль и аргумент, то есть и .
Date: 2016-01-20; view: 499; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|