Обобщенный регрессионный анализ

Пример 5. В табл. 23 представлены данные о потребительских расходах (у,у.е.) и располагаемом доходе (х,у.е.) тридцати семей. Проверьте эти данные на наличие гетероскедастичности, используя: 1) критерий Уайта; 2) критерий Бреуша – Пагана.

Т а б л и ц а 23

Решение с помощью табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Построение регрессионного уравнения с помощью пакета анализа (см. Вывод итогов 6)

3. Получение расчетных значений и вычисление остатков и , . Оформление результатов расчетов в виде табл. 24.

Т а б л и ц а 24

№ п.п.				№ п.п.
1.		10976,36	76376,86	16.		14891,52	71,99
2.		11759,39	129164,00	17.		15674,55	647,93
3.		12542,42	58769,51	18.		16457,58	1799,82
4.		13325,45	105920,66	19.		17240,61	67285,22
5.		14108,48	95162,90	20.		18023,64	50013,22
6.		14891,52	241587,14	21.		10976,36	50013,22
7.		15674,55	455011,57	22.		11759,39	116012,49
8.		16457,58	310890,73	23.		12542,42	432405,88
9.		17240,61	116012,49	24.		13325,45	75375,21
10.		18023,64	678376,86	25.		14108,48	8375,02
11.		10976,36	5831,40	26.		14891,52	166859,87
12.		11759,39	3527,64	27.		15674,55	526284,30
13.		12542,42	3314,97	28.		16457,58	195739,21
14.		13325,45	647,93	29.		17240,61	738557,94
15.		14108,48	11768,96	30.		18023,64	226922,31

4. Построение графика квадратов остатков (см. рис. 12). График зависимости квадратов остатков регрессии от независимой переменной имеет вид, вынуждающий предполагать гетероскедастичность.

Р и с. 12. График зависимости квадратов остатков от величины дохода

5. Проверка данных с помощью теста Уайта.

5.1. Вычисление и построение регрессионного уравнения (см. Вывод итогов 7) .

5.2. Расчет и сравнение этой величины с критическим значением . Результаты сравнения позволяют отвергнуть нуль-гипотезу (отсутствие гетероскедастичности).

6. Проверка данных с помощью теста Бреуша – Пагана.

6.1. Вычисление оценки дисперсии

.

6.2. Расчет и построение регрессионного уравнения (см. Вывод итогов 8) .

6.3. Вычисление среднего, расчетных значений, квадратов отклонений расчетных значений от среднего и ESS как суммы квадратов этих отклонений. Оформление результатов расчетов в виде табл. 25.

Т а б л и ц а 25

№ п.п.					№ п.п.
1.		0,4630	0,1798	0,6727	16.		0,0004	1,0911	0,0083
2.		0,7830	0,3621	0,4070	17.		0,0039	1,2734	0,0747
3.		0,3563	0,5443	0,2076	18.		0,0109	1,4557	0,2076
4.		0,6421	0,7266	0,0747	19.		0,4079	1,6379	0,4070
5.		0,5769	0,9089	0,0083	20.		0,3032	1,8202	0,6727
6.		1,4645	1,0911	0,0083	21.		0,3032	0,1798	0,6727
7.		2,7584	1,2734	0,0747	22.		0,7033	0,3621	0,4070
8.		1,8847	1,4557	0,2076	23.		2,6213	0,5443	0,2076
9.		0,7033	1,6379	0,4070	24.		0,4569	0,7266	0,0747
10.		4,1124	1,8202	0,6727	25.		0,0508	0,9089	0,0083
11.		0,0354	0,1798	0,6727	26.		1,0115	1,0911	0,0083
12.		0,0214	0,3621	0,4070	27.		3,1904	1,2734	0,0747
13.		0,0201	0,5443	0,2076	28.		1,1866	1,4557	0,2076
14.		0,0039	0,7266	0,0747	29.		4,4773	1,6379	0,4070
15.		0,0713	0,9089	0,0083	30.		1,3756	1,8202	0,6727
	СРЗНАЧ	ESS
1,0000	8,2222

6.4. Вычисление статистики ESS/2 = 8,22/2 = 4,11. При нулевой гипотезе отсутствия гетероскедастичности эта статистика имеет распределение , 95%-критическое значение которой равно 3,84. Поскольку 4,11 > 3,84, гипотеза о гомоскедастичности отвергается.

Пример 6. По данным табл. 26 постройте линейную регрессионную модель, характеризующую зависимость показателя от факторов и .

Т а б л и ц а 26

№				№
1.				11.
2.				12.
3.				13.
4.				14.
5.				15.
6.				16.
7.				17.
8.				18.
9.				19.
10.				20.

Построение модели следует начать с тестирования на гетероскедастичность. Считая наиболее вероятной ситуацию с двухуровневой дисперсией, используйте для проверки тест Голдфельда – Куандта. Если проверкой будет установлена неоднородность данных, то при построении модели примените многоэтапную процедуру оценивания ее коэффициентов с помощью доступного МНК. Получите прогнозную оценку на следующий период при условии, что , .

Решение с помощью MS Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Проверка данных с помощью теста Голдфельда – Куандта.

2.1. Упорядочивание исходных данных по переменной в предположении, что уровень дисперсии зависит от этой переменной, и удаление шести наблюдений, оказавшихся в середине выборки. Представление результатов в виде табл. 27.

Т а б л и ц а 27

№				№
1.				14.
2.				15.
3.				16.
4.				17.
5.				18.
6.				19.
7.				20.

2.2. Построение по упорядоченным данным двух регрессионных уравнений по первым семи наблюдениям (первое регрессионное уравнение, см. Вывод итогов 9) и по последним семи наблюдениям (второе регрессионное уравнение, см. Вывод итогов 10).

2.3. Получение расчетных значений и вычисление остатков и , с помощью которых составляется статистика . Оформление результатов в виде табл. 28.

Т а б л и ц а 28

№
1.				304,97	36,41
2.				202,65	385,93
3.				213,25	85,55
4.				182,85	447,46
5.				210,27	10,70
6.				167,42	112,03
7.				149,61	31,43
				=1109,51
14.				166,46	20,57
15.				132,98	24,78
16.				196,42	6,66
17.				111,10	1,21
18.				78,21	0,62
19.				146,78	46,02
20.				92,05	24,53
				=124,39

; .

Так как , то гипотеза отвергается и, следовательно, в данных наблюдается гетероскедастичность с двухуровневой дисперсией. Поэтому для построения регрессии по данным табл. 36 необходимо применить многоэтапную процедуру доступного МНК.

3. Построение регрессии с помощью доступного взвешенного МНК.

3.1. Построение регрессии обычным МНК по данным табл. 27 (см. Вывод итогов 11).

3.2. Получение расчетных оценок и вычисление абсолютных значений отклонений. Оформление результатов в виде табл. 29.

Т а б л и ц а 29

№
1.				84,971	-5,971	5,971
2.				112,734	-2,734	2,734
3.				94,361	2,639	2,639
4.				161,356	9,644	9,644
5.				184,912	19,088	19,088
6.				183,510	-9,510	9,510
7.				178,538	5,462	5,462
8.				297,385	13,615	13,615
9.				184,518	21,482	21,482
10.				134,047	-6,047	6,047
11.				228,331	-21,331	21,331
12.				146,315	5,685	5,685

Окончание табл. 29

3.3. Деление наблюдений с помощью Автофильтра на две группы и со значениями остатков, по абсолютной величине превосходящих и не превосходящих заданный уровень. (Анализ последнего столбца табл. 29 позволил в качестве такого уровня выбрать 7.)

3.4. Расчет среднеквадратических ошибок по остаткам, не превосходящих заданный уровень, и среднеквадратических ошибок по остаткам, превосходящих заданный уровень.

; .

3.5. Преобразование исходных данных путем деления зависимой и независимых переменных каждого наблюдения первой группы на , а второй группы – на и оформление результатов в виде табл. 30.

Т а б л и ц а 30

№
1.				3,014	9,968	18,314
2.				6,491	12,982	25,500
3.				7,650	5,564	22,487
4.				2,771	6,465	11,281
5.				0,792	11,611	13,458
6.				2,903	8,180	11,479
7.				8,346	30,137	42,655
8.				2,177	19,198	20,517
9.				2,243	9,302	13,590
10.				4,868	22,023	29,673
11.				3,826	10,621	13,656
12.				5,332	25,037	35,237
13.				4,552	5,674	13,128
14.				0,528	9,434	9,500
15.				13,909	9,736	32,455
16.				0,726	13,128	12,073
17.				6,027	33,614	41,264
18.				4,024	7,587	12,205
19.				1,187	7,323	10,028
20.				1,979	12,666	13,458

3.6. Построение регрессионной модели по преобразованным данным табл. 30. Использование преобразованных данных для построения регрессионной модели эквивалентно применению взвешенного МНК к исходным данным (см. Вывод итогов 12).

Таким образом, уравнение регрессии, построенное с учетом гетероскедастичности, имеет вид

.

3.7. Получение прогнозной оценки моделируемого показателя

.

Задание 5. Проверьте данные, представленные в табл. 31, на наличие гетероскедастичности, используя тест: 1) Уайта; 2) Бреуша – Пагана.

 

Т а б л и ц а 31

 

№ п.п.			№ п.п.
1.	10,00	110,00	11.	15,00	111,64
2.	10,50	110,66	12.	15,50	119,65
3.	11,00	110,06	13.	16,00	126,36
4.	11,50	112,83	14.	16,50	125,12
5.	12,00	112,92	15.	17,00	121,76
6.	12,50	113,17	16.	17,50	125,98
7.	13,00	108,35	17.	18,00	122,87
8.	13,50	120,18	18.	18,50	117,34
9.	14,00	115,07	19.	19,00	109,94
10.	14,50	117,08	20.	19,50	120,50

Задание 6. В табл. 32 приведены числовые данные о государственных расходах на образование (y, млрд. у.е.) и валовом внутреннем продукте (х, млрд. у.е.) для 34 стран. Проверьте эти данные на наличие гетероскедастичности, используя критерий Гольдфельда – Куандта. В случае подтверждения гипотезы о присутствии гетероскедастичности примените для построения модели, отражающей зависимость расходов на образование от ВВП, взвешенный метод наименьших квадратов.