Замена функции

Для этого приёма характерно многообразие вариантов замены какой-либо функции, входящей в подынтегральную функцию. Удача чаще всего приходит только в случае перебора нескольких вариантов.

Пример 4. .

Рецепт. Здесь безальтернативный вариант замены: . Это – табличный интеграл: . Обратная подстановка приводит к конечному результату: .

Пример 5.

Рецепт. Опытный взгляд обнаружит интересную дробь ─ дифференциал функции , а в числителе дроби встречается именно такая функция. Отсюда должна появиться естественная мысль сделать замену: . Тогда . В результате этой подстановки имеем табличный интеграл: . Обратная подстановка приводит к конечному результату .

К этой же группе интегралов, требующих замены функции, относятся такие, в составе которых имеются радикалы ^ой степени , т.е. компоненты типа . Очевидно, такой радикал надо заменить какой-либо переменной того же типа.

Пример 6. .

Рецепт. Здесь . Очевидна замена = тогда = . Тогда интеграл легко приводится к = = +С.

Обратная подстановка даёт конечный результат: = +С.

4. Интегрирование «по частям»

Идея этого метода основана на формуле производной произведения двух функций: [1] и применяется чаще всего тогда, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения пары хотя бы одной из следующих функций: и их вариаций.

Итак, если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения , то сочетание или можно принять за дифференциал или . Тогда решение интеграла получается по формуле:

Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.

Пример 7. .

Рецепт. Альтернатива выбора функций-сомножителей здесь небогатая: либо и , либо . Попробуем пойти первым путём

Вариант 1. . Повторно применяем этот же метод: и т.д. Очевидно, что этот путь - тупиковый: с каждым новым шагом показатель степени при аргументе растёт и не видно конца этим манипуляциям. Очевидна и причина такого тупика - неудачный первоначальный выбор функции .

Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».

А теперь пойдём альтернативным путём:

Вариант 2: . Тогда .

Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.

Пример 8. .

Рецепт. Применим метод «по частям»:

Сопоставив начало и конец этой цепочки, получаем решение .

5. Рациональные дроби

Известно [1], что дробь может называться «рациональной», если её числитель и знаменатель ─ целые числа. С этой точки зрения излагаемый дальше метод относится к интегралам вида: , где , а ─ полиномы порядка и , соответственно.

С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:

a) . В этом случае полином числителя «столбиком» делят на полином знаменателя, выделяя тем самым «целую» часть подынтегральной дроби и её «остаток». Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: , где

и ─ полиномы соответствующего порядка того же типа, что и исходные полиномы. Первый интеграл – сумма табличных интегралов. Ко второму интегралу применяют обычно метод «неопределённых коэффициентов», суть которого излагается дальше;

b) . Здесь сразу берётся интеграл указанным выше методом.

Метод «неопределённых коэффициентов»

Известно [1], что любой полином ^го порядка (n≥2) можно представить в виде произведения:

1 (коэффициента при старшей степени полинома);

2 двучленов типа ;

3 и трёхчленов типа

где - действительные числа, (причём ), действительный корень полинома и - кратности соответствующих сомножителей, при условии, что . По отношению к полиному знаменателя это означает, что подынтегральную функцию можно представить в виде суммы дробей типа и ( и - некие числовые коэффициенты) с соответствующими кратностями (повторами корней). Тогда нахождение интеграла от рациональной дроби сведётся к взятию табличного интеграла типа и интеграла типа , способ решения которого для =1 рассмотрен в Примере 2. Остаётся только освоить методику разложения рациональной дроби на соответствующие слагаемые.

Рецепт. Здесь порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, поэтому делим «столбиком» числитель на знаменатель:

Таким образом, , где = = . Здесь действительные числа, которые подбираются следующим образом:

1 сложим дроби: ;

2 затем приравняем коэффициенты при соответствующих степенях аргумента и получим систему двух линейных уравнений для и : ;

тогда решение этой системы:

Отсюда интеграл .

Таким образом, общее решение можно представить в следующем виде .

Пример 10. .

Рецепт.

1. Здесь порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя, поэтому не нужно выделять целую часть.

2. В предположении, что данный интеграл можно решить методом неопределённых коэффициентов, попробуем разложить полином знаменателя на множители.

Согласно теореме Виета, свободный член любого полинома равен произведению всех его корней на множитель , где – порядок полинома. Здесь , тогда этот множитель равен единице. Попробуем подобрать хотя бы один целый корень, возьмём, например, . При значение полинома: 1-2+4-6+3=0, т.е. – один из корней. Теперь поделим исходный полином «столбиком» (см. выше) на двучлен и получим полином третьего порядка . Сгруппируем соответствующие слагаемые: . Таким образом, подынтегральная функция должна иметь вид . В знаменателе имеется двучлен кратности 2 и «усечённый» трёхчлен с отрицательным дискриминантом. В этом случае подынтегральную функцию можно представить в виде суммы дробей:

(здесь, как и раньше коэффициенты - действительные числа).