Примечания. 1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1

1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1.

2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должен сопровождаться проверкой решения (см. образец).

1. = . Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: = , а это – табличные интегралы, поэтому решение: = .

ПРОВЕРКА = + ─ + = + + . Получено полное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное.

Ответ = .

2. = = = . Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: = для интеграла и = - для интеграла . Тогда = = . Получаем = (табличный интеграл)= . С помощью обратной подстановки получаем = = .

Аналогичные преобразования для интеграла : = = приводят к результату = = = . Таким образом, общее решение = +С.

ПРОВЕРКА ( +С) = = ─ очевидное совпадение.

Ответ: = + +С.

3. = . Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: = . Тогда дифференциал = = и интеграл принимает вид , т.е. снова табличный интеграл = . После обратной замены получаем = .

ПРОВЕРКА: = = =

= = - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.

Ответ = +С.

4. = . Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: = .

5. = . Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: = = , т.е. = . Тогда вводим

= . Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу: . Продолжим интегрирование: = = = . Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство = . Тогда 5 =

, = а искомый интеграл ─ = +С.

Согласно тексту задания в данном пункте необходимо построить вместе графики подынтегральной и первообразной функции и , чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла: . Выбор интервала значений аргумента в общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения =0. Из текста решения данного интеграла следует, что подынтегральная функция , а первообразная функция (решение интеграла) = +С. Решаем уравнение: =0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений: . При значения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя , а при наоборот устремляются к , соответственно. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал . Найдём корни, принадлежащие этому интервалу: . Поскольку ─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням: . Построить совмещённый график Вы можете двумя способами: вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента , две остальных ─ значения подынтегральной функции и первообразной функции для соответствующих значений . Алгоритм создания этой таблицы приведён в Приложении 2. Там же показано, как можно построить необходимый график на базе этой таблицы средствами Excel. В последнем случае построенный в Excel график можно распечатать на принтере и вклеить в отчёт (рис.1).

Рис.1. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенных средствами Excel.

Эти графики построены с использованием табл.4.

Таблица 4

Значения подынтегральной и первообразной функций .

	-7,00	-0,65
0,16	-1,15	-1,30
0,31	1,61	-1,20
0,47	0,86	-0,98
0,63	-0,18	-0,94
0,79	-0,30	-0,98
0,94	-0,05	-1,01
1,10	0,07	-1,01
1,26	0,04	-1,00
1,41	-0,01	-1,00
1,57	-0,01	-1,00

Табл.4.Исходные данные: , подынтегральная функция и первообразная функция .

А теперь тот же рисунок, но выполнений от руки на базе той же таблицы (рис.2).

Рис.2. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенные вручную.

Хорошо видно, что на обоих рисунках нулям подынтегральной функции в точности соответствуют точки экстремумов первообразной функции , т.е. имеет место наглядное подтверждение свойства .

Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор.

ПРОВЕРКА: =

= = = ч.т.д.

6. = . Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции на функцию = = . Тогда искомый интеграл получит вид =

= = . Поэтому в соответствии со свойством 4 с.5 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интеграла получаем = ─ + = ( + - ). После обратной подстановки получаем: = ( + ) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14.

ПРОВЕРКА ( ( ─ + )+С) = + ( +

))= ( ─ + ─

─ ─ + ─ )= (1─ ). Используя основное тригонометрическое тождество , переписываем полученное выражение: (1─3 +3 ). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: , подтверждающий правильность решённого интеграла.

Отве т: = ( + )+С.

7. = . Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами и , преобразуем подынтегральную функцию и получаем: = = =

+С, где = , а = .

Сначала с помощью формулы решаем первый

интеграл = = , где

1 = = ;

2 = =(снова замена аргумента)= ;

3 = =(удвоение аргумента)= = + + ;

4 = = = =(уже знакомым приёмом = )= =

.

После обратной замены = .

Возвращаемся к первому интегралу: = + + .

Второй интеграл решаем с помощью аналогичной замены: = = = . = = . После обратной замены = .

Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат:

= +С.

Авторы приносят извинения, но в виду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно.

Ответ: = +С.

8. = . В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 16) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции и её дифференциал: . Воспользовавшись формулой = + и введя замену , получаем интеграл = . Этот интеграл легко решается:

= +С= +С.