Тригонометрические подстановки

Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: , и . В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:

1. Для - , соответственно.

Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.

Пример 21.

Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию = и замещаем аргумент по одному из двух вариантов (см. выше), например, , тогда . В итоге = = = . Обратная постановка: , = и даёт конечный результат = = + .

2. Для - . Дальше следует решение примера на эту тему.

Пример 22. .

Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например, .

= = . Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда +С. Нетрудно показать, что = = . После обратной подстановки = = .

Итак, имеем конечный результат: +С.

3. Для - . Решим соответствующий пример.

Пример 23. .

Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант . Тогда искомый интеграл = = . Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид: +С. Обратная подстановка даёт окончательное решение +С.