Расчет статически определимых ферм

Статически определимые фермы представляют собой шарнирно-стержневые системы, в которых стержни соединяются между собой по концам (в узлах) шарнирно и работают при узловом приложении нагрузок только на растяжение-сжатие. Рассмотрим ферму, представленную на рис. 2.1.

Рисунок 2.1

Как ферма в целом, так и каждый ее узел должны находиться в равновесии. Для фермы за основу удобно взять равновесие узлов. Для каждого узла можно составить (используя способ вырезания узлов) два независимых уравнения равновесия. Общее число уравнений равновесия тогда будет равняться удвоенному числу узлов. Число неизвестных равно сумме продольных сил в стержнях фермы и составляющих опорных реакций. И так как рассматриваются статически определимые системы, то число неизвестных должно равняться числу независимых уравнений равновесия.

Ферма на рис. 2.1 имеет пять узлов и соответственно для нее можно составить десять (5 2) уравнений равновесия. Неизвестными в ферме являются семь продольных сил в семи стержнях и три опорных реакции, то есть имеем десять неизвестных, число которых равно числу независимых уравнений равновесия.

Составим систему разрешающих уравнений для рассматриваемой фермы:

Узел 1:

Узел 2:

Узел 3:

Узел 4:

Узел 5:

Получена линейная система алгебраических уравнений, решая которую (см. раздел 1) найдем все неизвестные – продольные силы в стержнях фермы и составляющие опорных реакций. Для проверки правильности расчета можно составить уравнения равновесия всей фермы: .

8. Общая система уравнений равновесия стержневых систем и её применение к расчету статически определимых балок.

Многопролетной статически определимой называют балку, состоящую
из простых балок, последовательно соединяющихся между собой по концам шарнирами, как правило, не совпадающими с опорами – см., например, балку на рис. 2.2.

Рисунок 2.2

Каждая из простых балок – это диск, который имеет три степени свободы, равновесие которого описывается тремя уравнениями равновесия. Каждый шарнир, соединяющий балки, имеет две связи и при его разрезании в нем возникает соответственно две внутренние реактивные силы.

Рассматриваемая многопролетная балка состоит из четырех простых балок, и для них соответственно можно составить двенадцать уравнений равновесия. Разделив многопролетную балку по трем шарнирам В, D и Т на простые балки, получим в качестве неизвестных шесть внутренних реактивных сил и шесть опорных реакций в опорах А (три), С, К, S (рис. 2.3) – всего 12. Число неизвестных равно числу уравнений равновесия.

Используя общий подход, следует составить уравнения равновесия для каждой из простых балок (рис. 2.3):

Балка АВ:Балка ВС D:

Балка DKT:

Рисунок 2.3. Расчетные схемы простых балок, составляющих многопролетную

Балка TS:

Получаем систему 12 уравнений, решая которую, найдем все опорные реакции и внутренние силы в шарнирах. В качестве проверки следует использовать уравнения равновесия многопролетной балки в целом:

.

Теперь можно рассмотреть каждую балку отдельно с приложенными внешними нагрузками, опорными реакциями и усилиями между соседними балками (в шарнирах) и построить в каждой из них эпюры внутренних сил M, Q и N. Например, для балки ВСD эти эпюры могут иметь вид, показанный на рис. 2.4.

Совместив эпюры усилий во всех простых балках на одной схеме, получим эпюры внутренних сил M, Q и N для многопролетной балки.

Все расчеты и вычисления, представленные здесь, можно выполнять в
среде MathCad, где также можно получить эпюры усилий в графическом виде.

9. Общая система уравнений равновесия стержневых систем и её применение к расчету статически определимых рам.

Подобный подход применим и к расчету статически определимых рам. При этом будем разбивать раму на более мелкие части, на простые элементы,
по аналогии с тем, как это делается в методе конечных элементов, – будем разделять раму на прямолинейные стержни так, чтобы распределенная нагрузка, если она есть, действовала на всей их длине, либо в пределах длины таких стержней не было никаких нагрузок. Точками разбивки (узлами) рамы в этом случае будут являться точки излома и разветвления стержней, точки приложения опорных связей и сосредоточенных нагрузок, точки начала и конца распределенных нагрузок, точки шарнирного соединения элементов.

Например, раму, представленную на рис. 2.5, разобьем на семь стержней (рис. 2.6, 2.7).

Рисунок 2.5

Соединение элементов (стержней) между собой в узлах может быть жестким либо шарнирным. При разрезании жестких соединений к стержням с той
и другой стороны необходимо прикладывать составляющие реактивных сил
(по две взаимно перпендикулярные силы) и изгибающие моменты, действующие в противоположных направлениях (рис. 2.6, 2.7). При разрезании шарнирных соединений к стержням с той и другой стороны прикладываются только составляющие реактивных сил.

Применим для сил взаимодействия стержней в узлах следующее правило знаков: в началах стержней составляющие сил будем направлять по направлениям, совпадающим с направлениями осей х и y, на концах стержней – соответственно в направлениях, противоположных направлениям осей х, y; моменты в началах стержней направим по часовой стрелке, на концах стержней – против часовой стрелки.

В узле 3 соединяется три стержня (такой узел будем называть двойным), поэтому сначала отрезаем один из стержней – стержень 2 (рис. 2.6) с появлением усилий Х ₃, Y ₃ и Z ₃ между концом стержня 2 и нижней частью рамы; а затем разрезаем узел соединения между стержнями 3 и 4 с появлением усилий (рис. 2.7).

Рисунок 2.6

В результате разделяем раму на семь простых прямолинейных стержней, для каждого из которых, как для плоских дисков, можно составить по три уравнения равновесия, и всего, следовательно, будем иметь 21 уравнение. Общее число неизвестных сил, включающее опорные реакции и силы взаимодействия между стержнями , в рассматриваемой раме также равно 21. Следовательно, задача представлена корректно, и система уравнений решается.

Составим для каждого из стержней (рис. 2.6, 2.7) уравнения равновесия:

Стержень 1:Стержень 2:

Стержень 3:Стержень 4:

Стержень 5:Стержень 6:

Стержень 5:

После определения опорных реакций и реакций во внутренних связях можно построить для каждого из стержней эпюры внутренних сил . Например, для стержня 6 эпюры усилий показаны на рис. 2.8,а.

Рисунок 2.8

Если на участке действует распределенная нагрузка, как на стержнях 2 и 7, то к линейной эпюре, полученной как для стержня 6, нужно подвесить балочную эпюру изгибающих моментов, полученную для стержня, преобразованного в простую двухопорную балку (рис. 2.8,б), от действия распределенной нагрузки. Например, для стержня 2 эпюра М представлена на рис. 2.8,в.

Перенеся в конце эпюры усилий для отдельных стержней на общую схему рамы, получим эпюры внутренних сил для рамы в целом.

Расчет многопролетной балки (рис. 2.2) также можно выполнять, разбивая ее аналогично раме – на простые стержни, в пределах длин которых нет сосредоточенных нагрузок; при этом, конечно, число разрешающих уравнений существенно увеличивается в сравнении с вышеизложенным подходом (раздел 2.2), однако проще строятся эпюры внутренних сил .