Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать неотразимый комплимент
Как противостоять манипуляциям мужчин?
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений
|
|
Рассмотренный подход требует большого объема трудоемких вычислений.
Широко для решения систем линейных алгебраических уравнений используется также метод Гаусса и его модификации. Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду, что достигается последовательным
исключением неизвестных из уравнений системы.
Сначала с помощью первого уравнения исключается х1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается х2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс называется прямым ходом Гаусса, и продолжается он до тех пор, пока в левой части последнего уравнения не останется лишь одно слагаемое с неизвестным xn , то есть пока матрица системы [A] не будет приведена к треугольному виду.
Затем выполняется обратный ход Гаусса, который состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных:
решая последнее уравнение, находим xn, затем из предпоследнего уравнения находим xn-1 и так до первого уравнения, из которого находим х1.
Рассмотрим применение метода Гаусса для системы трех уравнений:
(1.5)
Для исключения х1 из второго и третьего уравнений умножим первое уравнение последовательно на коэффициенты 
и 
(в общем случае на 
) и сложим полученные уравнения соответственно со вторым и третьим уравнениями. В результате получим:
(1.6)
где: 
или в общем виде:
Теперь из третьего уравнения полученной системы (1.6) нужно исключить х2. Поступаем аналогично. Умножаем второе уравнение на коэффициент 
и складываем полученное уравнение с третьим. Получим:
где: 
.
Матрица системы уравнений стала треугольной, на этом заканчивается прямой ход Гаусса. Заметим, что здесь везде идет деление на коэффициенты 
, то есть на главные коэффициенты системы, поэтому они не должны быть равны нулю.
Обратный ход Гаусса начинается с решения последнего (третьего) уравнения: 
,
после чего используя это значение, находим из второго уравнения 
:
а затем, зная и 
, аналогично из первого уравнения находим 
.
Аналогично строится вычислительный алгоритм решений линейной
системы с произвольным числом уравнений. Заметим, что метод Гаусса – это достаточно удобный и широко применяемый метод решения систем линейных алгебраических уравнений.
При большом числе уравнений и значительном расхождении коэффициентов 
в системе уравнений могут иметь место погрешности вычисления неизвестных, которые могут быть весьма значительными.
Date: 2015-05-22; view: 173; Нарушение авторских прав