Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений





Рассмотренный подход требует большого объема трудоемких вычислений.

Широко для решения систем линейных алгебраических уравнений используется также метод Гаусса и его модификации. Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду, что достигается последовательным
исключением неизвестных из уравнений системы.

Сначала с помощью первого уравнения исключается х1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается х2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс называется прямым ходом Гаусса, и продолжается он до тех пор, пока в левой части последнего уравнения не останется лишь одно слагаемое с неизвестным xn , то есть пока матрица системы [A] не будет приведена к треугольному виду.

Затем выполняется обратный ход Гаусса, который состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных:

решая последнее уравнение, находим xn, затем из предпоследнего уравнения находим xn-1 и так до первого уравнения, из которого находим х1.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы трех уравнений:

(1.5)

Для исключения х1 из второго и третьего уравнений умножим первое уравнение последовательно на коэффициенты и (в общем случае на ) и сложим полученные уравнения соответственно со вторым и третьим уравнениями. В результате получим:

(1.6)

где:

или в общем виде:

Теперь из третьего уравнения полученной системы (1.6) нужно исключить х2. Поступаем аналогично. Умножаем второе уравнение на коэффициент и складываем полученное уравнение с третьим. Получим:

где: .

Матрица системы уравнений стала треугольной, на этом заканчивается прямой ход Гаусса. Заметим, что здесь везде идет деление на коэффициенты , то есть на главные коэффициенты системы, поэтому они не должны быть равны нулю.

Обратный ход Гаусса начинается с решения последнего (третьего) уравнения: ,

после чего используя это значение, находим из второго уравнения :

а затем, зная и , аналогично из первого уравнения находим .



Аналогично строится вычислительный алгоритм решений линейной
системы с произвольным числом уравнений. Заметим, что метод Гаусса – это достаточно удобный и широко применяемый метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

При большом числе уравнений и значительном расхождении коэффициентов в системе уравнений могут иметь место погрешности вычисления неизвестных, которые могут быть весьма значительными.

 






Date: 2015-05-22; view: 195; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию