Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Системы линейных алгебраических уравнений и их решение в матричной форме





Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Метод Крамера - вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

где x1, x2, …, xn – неизвестные переменные, ai j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b1, b2, …, bn - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x1, x2, …, xn при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x1, x2, …, xn, матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x1. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А1 1 , обе части второго уравнения – на А2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на Аn 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x2. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .







Date: 2015-05-22; view: 900; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2022 year. (0.017 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию