Матрицы, их виды. Детерминант матрицы и его вычисление

.

Здесь матрица является квадратной матрицей, а матрицы и – векторами (матрицами-столбцами).

Квадратные матрицы могут иметь различный вид. Среди них выделим:

· симметричные матрицы (элементы которых симметричны относительно главной диагонали);

· треугольные матрицы, в которых все элементы
с одной стороны от главной диагонали равны нулю;
см., например, матрицу справа:

· «ленточные» матрицы – их ненулевые элементы расположены (сгруппированы) на (около) главной диагонали; остальные элементы – нулевые (см.
вторую матрицу справа);

· диагональные матрицы, в которых значащие элементы расположены только на диагонали; все остальные элементы равны нулю:

· единичную матрицу [ Е ] (см. матрицу справа); при умножении любой матрицы на такую единичную матрицу первая матрица не изменяется; единичная матрица является частным случаем диагональной матрицы и в вычислениях аналогична цифре
«единица».

Для квадратной матрицы важным является понятие определителя (или
детерминанта) матрицы:

.

Вычисление определителя матрицы не всегда простая задача.
Легко вычисляются определители невысоких порядков:

; (1.3)

.

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов,
лежащих на главной диагонали.

Для матриц более высоких порядков можно вычислять их определители путем последовательного разложения их по строке или по столбцу:

,

где: – это определитель матрицы, получаемой при вычеркивании в

исходной матрице i -ой строки и k -го столбца; вычисление этого определителя можно производить опять путем разложения по строке (или по столбцу), и так до конца или до тех пор, пока не дойдем до матрицы третьего порядка, которую можно вычислить согласно выражению (1.3).

В матричной форме решение системы уравнений может быть записано в виде:

где – обратная матрица,

вычисляемая по выражению: (1.4)

Здесь: – определитель матрицы ; A_{i j} – алгебраические дополнения элементов а_{i j} в матрице , вычисляемые согласно выражению

(минор элемента a_{i j}),

где минор элемента a_{i j} – это определитель матрицы, которая получается после вычеркивания в матрице i -ой строки и j -го столбца.

Заметим, что решение система уравнений (1.1), (1.2) имеет только в том случае, если ее определитель не равен нулю , то есть, если матрица невырождена.