Високими стінками

Насамперед розглянемо допоміжну одновимірну задачу про стани частинки в полі потенціального бар’єра нескінченної висоти. Оператор Гамільтона у нашому випадку має вигляд:

(1)

де

Вимагається визначити хвильову функцію частинки на границі потенціального бар’єру при : .

Для знаходження розв’язку рівняння Шредінґера

(2)

вважатимемо, що при потенціальна енергія скінчена і . Загальний розв’язок рівняння (2), скінчений в усій області , визначається формулою

. (3)

Зазначимо, що в (3) ми відкинули розв’язок , оскільки він розбіжний при . Виконаємо тепер в (3) подвійний граничний перехід: і . На границі бар’єру (при ) маємо:

. (4)

Співвідношення (4) виконується лише за умови, що

, (5)

а - скінчена величина.

Розглянемо тепер задачу про рух частинки в полі одновимірної потенціальної ями з необмежено високими стінками, коли гамільтоніан має вигляд:

(6)

де

Як слідує з наведеного вище прикладу, за вказаних умов частинка поза потенціальною ямою знаходитися не може. Тому її хвильова функція при і дорівнює нулю. Всередині ями, при , стаціонарне рівняння Шредінґера має вигляд:

(7)

з наступними граничними умовами (див. формулу (5)):

. (8)

Загальний розв’язок рівняння (7):

. (9)

Сталі та визначаються із граничних умов (8):

(10)

(11)

а стала С – із умови нормування:

. (12)

Отже, стаціонарні стани в необмежено глибокій ямі реалізуються при таких дискретних значеннях енергії:

(13)

Відповідні хвильові функції рівні

. (14)

З’ясуємо фізичний зміст умови (11). Оскільки хвильове число визначає довжину хвилі , то з (11) випливає, що , тобто в стаціонарних станах на ширині ями укладається ціле число півхвиль де Бройля. У цьому полягає відмінність від необмеженого простору, в якому стаціонарні стани реалізуються при довільному значенні .