Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вправи на закріплення розуміння формалізму КМ
2.1. Комутаційні співвідношення
Вправа 1. Визначити комутатор . Розв’язання. Для . (2.1) Відповідь: .
Вправа 2. Виписати всі можливі комутатори в сукупності операторів . Відповідь: ; . (2.2) Тут - позначення індексів операторів проекцій радіус-вектора та імпульсу .
Вправа 3. Визначити комутатор операторів та кінетичної енергії . Розв’язання. Використовуючи вираз (1.12), запишемо . (2.3) Визначимо комутатори у фігурній дужці, використовуючи (2.1): , . (2.4) Підставивши (2.4) у вираз (2.3), одержимо . (2.5) Відповідь: .
Вправа 4. Встановити комутаційні співвідношення між операторами проекцій моменту імпульсу . Розв’язання. Обчислимо як приклад комутатор (інші два комутатори обчислюються аналогічно) Відповідь: , (2.6) , (2.7) . (2.8)
Вправа 5. Довести, що кожний з операторів комутує з , тобто .
2.2. Імовірності результатів вимірювань, середні значення та дисперсії фізичних величин
Вправа 6. Показати, що з умови нормування хвильової функції (2.9) та умови ортонормування власних функцій ермітового оператора , (2.10) а саме (2.11) випливає, що набір є повним, тобто при розкладанні у ряд (2.12) виконується співвідношення . (2.13) При цьому визначає імовірність того, що при вимірюванні величини над системою, що перебуває в стані , ми одержимо значення . Цю імовірність позначатимемо . (2.14)
Вправа 7. Використовуючи (2.11) і (2.12), довести, що . (2.15)
Співвідношення (2.15) дозволяє представити вираз (2.14) у вигляді: . (2.16)
Вправа 8. Показати, що середнє значення величини у стані , визначається формулою . (2.17) Вказівка. Для доведення (2.17) підставити розклад (2.12) в (2.17) і, використовуючи (2.10), (2.11) і (2.14), одержати співвідношення , (2.18) що є стандартним визначенням середнього значення (надалі індекс в середньому значенні не виписуємо).
Вправа 9. Визначити середнє значення потенціальної енергії електрона в основному стані атома водню , (2.19) де - радіус Бора. Розв’язання. За означенням середнього значення . (2.20) Оскільки , то . (2.21) Відповідь: .
Вправа 10. Визначити середнє значення кінетичної енергії електрона в основному стані атома водню. Розв’язання. Перш за все запишемо оператор , де . Тоді , звідки одержимо: . (2.22) Із (2.21) і (2.22) видно, що - аналог відомої теореми віріала в класичній механіці. Відповідь: .
Вправа 11. Визначити дисперсію координати в основному стані лінійного гармонічного осцилятора: . Розв’язання. Маємо: , оскільки . Тому . (2.23) Відповідь: .
Вправа 12. Визначити дисперсію імпульсу в основному стані лінійного гармонічного осцилятора. Розв’язання. Маємо: , оскільки . Тому . (2.24) Відповідь: .
Висновки із вправ (2.11) і (2.12): 1) У розглянутому випадку співвідношення Гайзенберга мінімізується. Дійсно, з (2.23) та (2.24) слідує, що . (2.25) Такі стани в КМ називаються когерентними. 2) Середні значення потенціальної та кінетичної лінійного гармонічного осцилятора дорівнюють одне одному і рівні половині енергії основного стану . Дійсно, , а також . Date: 2015-05-19; view: 460; Нарушение авторских прав |