![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Короткі відомості про математичний апарат квантової механікиСтр 1 из 10Следующая ⇒
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФІЗИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ В.Ю. Лазур, С.Ю. Медведєв, М.І. Карбованець, О.М. Карбованець ПРАКТИКУМ З КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ
Навчально-методичний посібник
Ужгород – 2009 Автори. Практикум з квантової механіки (навчально-методичний посібник). – Ужгород: Видавництво УжНУ “Говерла”, 2009. – ХХХ с.
Рецензент: доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділу теорії елементарних взаємодій ІЕФ НАН України Гайсак М.І.
Відповідальний за випуск: доктор фізико-математичних наук, професор, декан фізичного факультету, завідувач кафедри теоретичної фізики Лазур В.Ю.
Посібник створено на базі частини лекційного курсу "Квантова механіка", що читається студентам усіх спеціальностей фізичного факультету УжНУ. Він містить ряд основних ідей і методів квантової механіки в обсязі, достатньому для їх подальшого застосування в курсах теоретичної фізики та спецкурсах. Посібник містить завдання різного рівня складності, приведено детальні розв’язки запропонованих задач. Посібник розраховано на студентів фізико-математичних та інженерно-технічних спеціальностей університетів.
Рекомендовано до друку методичною комісією фізичного факультету (протокол № від 2009 року).
Зміст Стор. В С Т У П.. 4 1. Короткі відомості про математичний апарат квантовоїт механіки. 5 2. Вправи на закріплення розуміння формалізму КМ.. 10 2.1. Комутаційні співвідношення. 10 2.2. Імовірності результатів вимірювань, середні значення та дисперсії фізичних величин. 11 3. Найпростіші задачі квантової механіки. 14 3.1. Стаціонарні стани. 14 3.2. Проходження через потенціальні бар’єри. ………………………….27 3.3. Наближені методи розв’язання квантово-механічних задач……………..41 ЛІТЕРАТУРА.. Ошибка! Закладка не определена. ВСТУП Основна мета даного навчально-методичного посібника – допомогти читачеві оволодіти математичним формалізмом квантової механіки (КМ). Наразі цей формалізм успішно зарекомендував себе у розв’язанні задач як фундаментального, так і прикладного характеру. Відмітимо особливості КМ як наукової дисципліни. Створена на початку ХХ ст., КМ досягла блискучих успіхів у поясненні фізичних явищ та властивостей матерії, обумовлених закономірностями мікросвіту (спектри атомів, молекул, кристалів, явища надплинності та надпровідності, особливості теплоємності речовини, тощо). Більш того – на основі КМ створені нові матеріали з наперед заданими властивостями і нові прилади – прилади квантової електроніки. Тобто, КМ наразі фактично стала інженерною дисципліною. Проте, більш глибокий – світоглядний – рівень КМ все ще представляє собою хвилюючу таємницю. Серед провідних фізиків сучасності досі, після численних дискусій протягом ХХ ст., немає єдиної точки зору щодо тлумачення та інтерпретації певних гносеологічних аспектів та базових понять КМ. Особливо це стосується процесу квантового вимірювання, для описання якого вживаються такі поняття, як “редукція хвильового пакету”, “колапс хвильової функції”, тощо. Слід відмітити, що переважній частині фізиків відсутність розуміння вказаних методологічних аспектів до останнього часу не заважала: їм було достатньо розуміння КМ на “інструментальному рівні”, тобто вміння застосовувати формалізм КМ до розв’язання конкретних задач. Але в останнє десятиліття інтенсивно почали розвиватися нові, фантастично цікаві напрямки КМ: квантові комп’ютери, квантова телепортація, квантова криптографія тощо. З’ясувалося, що для успішного просування за цими напрямками недостатньо обмежуватися лише “інструментальним рівнем” розуміння КМ – необхідно виробити більш глибоке “інтерпретаційне” розуміння цієї надзвичайно цікавої дисципліни. Автори даного посібника, однак, вважають за потрібне попередити зацікавленого читача: над філософськими, “інтерпретаційними” поняттями КМ можна починати працювати лише після засвоєння її “інструментального рівня”. Інакше подібні спроби у кращому випадку перетворюються у “словесну еквілібристику”, а у гіршому – ведуть до профанації науки. Отже, ми наполегливо рекомендуємо читачеві: на певний час відкласти інтригуючи і цікаві “інтерпретаційні” питання КМ і зайнятися, можливо менш цікавою, але необхідною працею – оволодінням математичним апаратом КМ та його застосуванням до розв’язання конкретних практичних задач. Даний посібник якраз для цього і призначений. У першому розділі посібника конспективно наводяться основні відомості з математичного формалізму КМ (для більш ґрунтовного вивчення вказаних питань читач може звернутися до праць [1-5]). Вправи для закріплення розуміння цього формалізму наведенні у розділі 2. Основна частина посібника, розділ 3, присвячена розв’язанню вибраних практичних задач КМ. Короткі відомості про математичний апарат квантової механіки
Математичний апарат КМ докорінним чином відрізняється від математичного формалізму класичної механіки. Це обумовлено суттєвою відмінністю поведінки мікрооб’єктів (яка досліджується в КМ) порівняно з рухом класичних частинок. Відмітимо наступні три основні відмінності: 1) принципово імовірнісний характер поведінки мікрооб’єктів (на відміну від однозначного – лапласівського - детермінізму класичної механіки); 2) співвідношення невизначеностей фізичних величин (ФВ): є такі пари ФВ, для яких не існує фізичних станів, в яких вони одночасно мали б точні значення (нижче це твердження буде обговорюватися детальніше, а зараз нагадаємо відомий приклад: пара “координата Хвильова функція (ХФ)
де коефіцієнти Серед усіх наборів
Такими базисами є сукупності власних функцій операторів
Числа Знання набору власних функцій
(вираз під знаком модуля – амплітуда вказаної імовірності). Формула (1.4) ілюструє один із інструментальних аспектів твердження І, а також розкриває фізичний зміст власних функцій. А саме, як випливає із (1.3) і (1.4), якщо система знаходиться в одному із власних станів Яким же чином у квантовій механіці конструюють оператори фізичних величин? Перш за все нагадаємо дві обмежувальні умови, що стосуються вказаних операторів. А саме, оператори фізичних величин повинні бути лінійними та ермітовими. Оператор
Лінійність операторів фізичних величин необхідна для забезпечення принципу суперпозиції. У свою чергу, ермітовість операторів потрібна для забезпечення дійсності власних значень оператора. Нагадаємо, що оператор називається ермітовим (або самоспряженим), якщо для довільних функцій
Сформулюємо наступний принцип, який допоможе в конструюванні операторів фізичних величин: співвідношення між операторами фізичних величин у квантовій механіці має бути таким же, як співвідношення між цими величинами у класичній фізиці (існують деякі винятки з цього принципу, на яких ми тут не будемо зупинятися). Наприклад, момент імпульсу у класичній механіці визначається, як
а всі інші комутатори дорівнюють нулю. Нагадаємо, що комутатором
Можна довести наступне твердження (див. розділ 2, вправа): якщо оператори
Співвідношення (1.9) ілюструє другий інструментальний аспект твердження ІІ: оператори, як не комутативні у загальному випадку об’єкти, потрібні в КМ в силу відмінності 2). Нагадаємо, що дисперсією Таким чином, залишилося підібрати такі оператори координат та імпульсів, які б задовольняли співвідношенням (1.7). У координатному представленні розв’язок (1.7) має вид (пропонуємо читачеві переконатися у цьому самостійно, звернувшись до вправи??? розділу 2):
або у векторній формі
Тепер легко побудувати оператор кінетичної енергії
та оператор моменту імпульсу:
Звідси для операторів проекцій моменту імпульсу одержимо наступні вирази:
Запроваджені вище оператори Що ж стосується виду основного оператора КМ – оператора Гамільтона (або гамільтоніана) Наведемо приклади операторів Гамільтона деяких простих систем, з яких починається знайомство з квантовою механікою: 1) атом водню:
2) лінійний гармонічний осцилятор з власною частотою
3) атом гелію:
Рівняння на власні значення і власні функції оператора
Переважна більшість теоретичних досліджень у КМ базується саме на рівнянні (1.18). У розділі 3 читачеві пропонується для розв’язання декілька практичних задач КМ, які фактично зводяться до розв’язання стаціонарного рівняння Шредінґера (1.18). Зазначимо, що власні функції оператора Гамільтона
в яких система може знаходитися лише у випадках, коли гамільтоніан
Неважко переконатися, що у випадку
то, розв’язуючи рівняння (1.20) з початковою умовою (1.21), можна знайти стан Date: 2015-05-19; view: 707; Нарушение авторских прав |