Собственное значение и собственная функция

находятся из уравнения

.

Подстановка в уравнение дает систему алгебраических уравнений

.

Ищем , и . Условие совместности

дает

,

.

Проекция спина на любое направление равна . В этом парадоксальном результате проявляется квантование спина – соседние проекции отличаются на , и не могут превышать .

Для функции с собственным значением получаем уравнение

.

Используем

,

,

тогда

.

С точностью до постоянной фазы находим решение

,

,

.

Нормировка

, ,

дает , тогда

. (П.11.7)

Переход к собственному значению сводится к развороту вектора , тогда

, .

Из (П.11.7) получаем

. (П.11.8)

Выполняются условия нормировки и ортогональности

,

.

Частные случаи направлений. При , вектор n направлен по оси z. Из (П.11.6)

получаем

.

Из (П.11.7) и (П.11.8)

, ,

находим собственные функции

,

,

совпадающие с (7.16).

При , вектор n направлен по оси x,

.

Из (П.11.7) и (П.11.8) находим

,

. (П.11.9)

При , вектор n направлен по оси y,

Из (П.11.7) и (П.11.8) получаем

,

. (П.11.10)