Водородоподобный атом. В электронной оболочке водородоподобного атома находится один электрон, например

В электронной оболочке водородоподобного атома находится один электрон, например . Заряд ядра , где Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Массивное ядро с Z протонами с учетом считаем неподвижным при движении электрона. Потенциальная энергия электрона в СИ

.

Потенциальная энергия и уровни атома водорода

Система центрально-симметричная, используем сферические координаты с центром в ядре. Состояние электрона с энергией E и квантовыми числами l и m описывает волновая функция (5.9)

.

Найдем радиальную функцию , и возможные энергии электрона Е.

Уравнение Шредингера. Для связанного состояния с полной энергией из радиального уравнения (5.10)

получаем

.

Упрощаем уравнение. Выражаем энергию через безразмерный параметр

, (5.21)

где введен боровский радиус атома водорода

. (5.22)

Переходим от радиуса r к безразмерной переменной

, . (5.23)

Для получаем уравнение

, (5.24)

рассмотренное ранее в курсе “Методы мат. физики”. Нормировка радиальной функции, содержащей интеграл , требует его конечности. Если радиальное число

не целое, то решение является бесконечным рядом, при ведет себя как , нормировочный интеграл расходится, такое решение является нефизическим. Сходимость на верхнем пределе интеграла приводит к квантованию В курсе “Методы мат. физики” получено решение

, (5.25)

где – обобщенный полином Лагерра; .

Квантовые числа. Пространственная и угловая ограниченность движения приводит к дискретности спектра квантовых чисел, характеризующих состояние электрона.

Радиальное число определяет степень полинома, входящего сомножителем в радиальную функцию, и равно числу нулей радиальной функции.