Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Для центрально-симметричной системыЦентральносимметричные и Осесимметричные СТАЦИОНАРНЫЕ системы
У стационарной системы не зависит от времени потенциальная энергия, тогда гамильтониан . (5.1)
Центральная симметрия означает отсутствие в сферических координатах угловой зависимости
.
Осевая симметрия означает отсутствие в цилиндрических координатах угловой зависимости
.
Для центрально- и осесимметричных систем сохраняется момент импульса.
Уравнение Шредингера для центрально-симметричной системы
Если потенциальная энергия системы имеет центр симметрии, т. е. не зависит от углов θ и φ, тогда используется сферическая система координат, в которой . Гамильтониан системы ,
где согласно (4.8) и (4.9) оператор Лапласа
,
. В результате . (5.7)
Гамильтониан складывается из кинетической энергии радиального движения, кинетической энергии углового движения и из потенциальной энергии. Операторы и коммутируют со всеми слагаемыми гамильтониана ,
,
,
,
. В результате ,
. Тогда из (2.67) для и получаем
, .
Момент импульса и его проекция сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. В результате центрально-симметричное состояние характеризуется собственными значениями операторов , т. е. числами Е, l, m. Уравнение Шредингера с гамильтонианом (5.7) имеет вид , где согласно (4.9) . Угловое и радиальное движения разделены, решение ищем в виде
.
Решение подставляем в уравнение, умноженное на 2μ r 2 и деленное слева на ψ. Слагаемые с радиальной переменной и с угловыми переменными переносим в разные стороны равенства. Тогда обе стороны не зависят ни от одной переменной , (5.8)
где η – постоянная. В результате получили два независимых уравнения – для и для . Уравнение аналогично уравнению (4.14)
,
следовательно , и – сферическая функция, тогда
. (5.9)
Радиальное уравнение. Для радиальной функции из (5.8) с учетом получаем . Используем , находим . (5.10) Решение ищем в виде . (5.11) С учетом приходим к уравнению , (5.12) где ;
;
. (5.13)
Эффективная потенциальная энергия складывается из и из центробежной энергии отталкивания от оси вращения .Уравнение (5.12) аналогично одномерному уравнению Шредингера и к нему применимы использованные ранее методы решения. Конечность при требует согласно (5.11) выполнения граничного условия . (5.14)
Ортонормированность для дискретного спектра имеет вид
, .
|