Заряд в магнитном поле. Магнитное поле наряду с электрическим полем широко используется для изменения и контроля состояния электрона

Магнитное поле наряду с электрическим полем широко используется для изменения и контроля состояния электрона. Магнитное поле влияет на фазу волновой функции заряда и на длину волны де Бройля. Это используется для измерения эффективной массы и магнитного момента носителя тока в кристалле, для определения поверхности Ферми и концентрации электронного газа.

Длина волны де Бройля

определяется в магнитном поле не кинетическим импульсом частицы , а полным импульсом.

Полный импульс P учитывает влияние магнитного поля на волновую функцию заряда. Пусть магнитное поле создано электрическим полем благодаря явлению электромагнитной индукции, описываемому уравнением Максвелла

,

где А – векторный потенциал; индукция магнитного поля

.

Тогда получаем

.

Учитываем

,

где f – произвольная скалярная функция, тогда

.

Векторный потенциал в классической электродинамике не измерим, его выбор не однозначен. Используем калибровку

,

получаем , в результате

.

Векторный потенциал создает вихревое (а не кулоновское, потенциальное) электрическое поле, которое называется полем Фарадея.

Электрическое поле изменяет кинетический импульс заряда q согласно второму закону Ньютона

.

Интегрируем в пределах от 0 до t и получаем

.

Для поля Фарадея находим изменение импульса за время t

. (1.19)

Определяем полный импульс заряда q

, (1.20)

складывающийся из кинетического импульса частицы

и импульса магнитного поля, связанного с зарядом q:

.

Согласно (1.19), при изменении векторного потенциала сохраняется полный импульс

.

Ему сопоставляем оператор неизменной формы

. (1.20а)

Оператор имеет собственную функцию с фазой и с волновым числом . В результате фаза волновой функции и длина волны де Бройля в магнитном поле определяются полным импульсом. Получим следствия в рамках полуклассической квантовой механики.

Квазиклассическое квантование в магнитном поле. В формуле квантования Бора–Зоммерфельда импульс заменяем полным импульсом

,

, (1.21)

Условие максимума интерференции в магнитном поле получил Вальтер Франц в 1939 г. Рассмотрим следствия (1.21) для заряда, движущегося в однородном магнитном поле.

Заряд в магнитном поле В, направленном по оси z. На заряд q, движущийся со скоростью V В, действует сила Лоренца

,

направленная по правилу левой руки, перпендикулярная магнитному полю и скорости. Поэтому сила является центростремительной

.

Выражаем радиус траектории

. (1.23)

Угловая скорость вращения, или циклотронная частота:

(1.24)

не зависит от скорости заряда.

Для поля В находим векторный потенциал, используя

.

В цилиндрических координатах

,

,

.

Для рассматриваемого поля

, , ,

тогда

, , .

Вектор А направлен по касательной к траектории заряда и связан с вектором В правилом правого винта.

Полный импульс

для траектории с номером и радиусом

.

Из рисунка находим

,

.

Подстановка в (1.21)

, ,

дает

. (1.25)

Квантование импульса и кинетической энергии. В (1.25) подставляем (1.23) и получаем

, (1.26а)

. (1.26б)

Квантование проекции момента импульса без магнитного поля

, ,

заменяется в магнитном поле на квантование проекциимомента полного импульса. Используем

,

и (1.25)

получаем

, (1.27)

тогда

.

Номер траектории определяется модулем магнитного числа.

Квантование радиуса траектории. Из (1.23) выражаем

,

подставляем в (1.26а)

,

получаем

, (1.29)

где магнитная длина

(1.30)

Для электрона

.

Для магнитного поля у земли

, .

Квантование магнитного потока. Используя (1.29), находим магнитный поток через площадь, ограниченную траекторией:

, (1.31)

где квант магнитного потока

. (1.32)

Согласно (1.31) квантовое число n равно числу квантов магнитного потока, приходящихся на площадь, ограниченную траекторией заряда.

В сверхпроводнике заряд спаренных электронов , тогда квант магнитного потока в сверхпроводнике

. (1.33)

Ф₀ приблизительно равен потоку 1/100 магнитного поля земли через площадку диаметром 0,1 мм.

Квантование магнитного потока обосновали В.А. Фок и П. Иордан в 1930 г., Ф. Лондон в 1948 г. Экспериментально явление обнаружили в сверхпроводнике Б. Дивер и В. Фейрбэнк в 1961 г. Кольцо из олова толщиной 0,3 10 мкм гальванически осаждалось на кварцевой нити диаметром 13 мкм. При температуре выше сверхпроводящего перехода олова, равного 3,8 К, кольцо помещали в магнитное поле, направленное вдоль оси кольца. Температуру снижали, олово переходило в сверхпроводящее состояние и выталкивало поле из своего объема, создавая поверхностный кольцевой ток и магнитный поток через отверстие кольца. Результат измерений , где , соответствовал максимуму интерференции для фазы

. (1.34)

волновой функции куперовской пары с зарядом , проходящей по кольцу.

Квантование сопротивления. Рассмотрим контур, плоскость которого перпендикулярна магнитному полю. К концам контура приложено напряжение U, по цепи идет ток I. Используем баланс энергии. При переносе заряда q источник напряжения совершает работу . При увеличении магнитного потока на , возникает явление электромагнитной индукции и для поддержания тока источник совершает дополнительную работу . Из закона сохранения энергии

.

В цепи возникает индуктивное сопротивление

. (1.35)

Если ток переносится в сверхпроводнике куперовскими парами электронов , то кванту магнитного потока

соответствует квант сопротивления

. (1.36)

Кванту потока

соответствует холловское сопротивление

. (1.36а)

Квантование сопротивления баллистического проводника, в котором электроны движутся без рассеяния:

,

где – число активизированных поперечных мод движения, которые дают вклады в продольный ток, обосновал Рольф Ландауэр в 1970 г.

Интерференционные осцилляции сопротивления проводника с двумерным электронным газом при изменении магнитного поля экспериментально исследовали Юрий Васильевич и Дмитрий Юрьевич Шарвины в 1981 г. Использовалось кольцо из магния диаметром (1,5¸2) мкм. При температуре ~1К длина свободного пробега электронов превышает размер кольца. На платиновые контакты А и В подается напряжение. Через кольцо проходит магнитный поток Ф. На контакте А электронная волна разделяется и идет по путям 1 и 2, набирая фазы θ₁ и θ₂, и интерферирует на контакте В с разностью фаз .

Учитываем, что при обращении движения набираемая фаза меняет знак, тогда можно считать, что электрон делает один оборот по кольцу. Из (1.34)

получаем

, .

Изменение магнитного потока на меняет разность фаз

.

Максимум интерференции соответствует максимуму тока между контактами. В результате при изменении магнитного поля сопротивление между контактами осциллирует с периодом

.

Если через кольцо одновременно переносится заряд , то период осцилляций равен . Эксперимент подтвердил этот вывод.

Квантование магнитного момента. Контур с током создает магнитный момент, равный произведению силы тока на площадь контура и направленный перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта.

Модули магнитного момента и момента импульса L заряда, создающего ток, взаимно пропорциональны

,

где – гиромагнитное отношение, известное из классической физики. Используя (1.27)

,

получаем орбитальный магнитный момент электрона

,

, (1.37)

где магнетон Бора

(1.38)

введен В. Паули в 1920 г. Проекция орбитального магнитного момента на направление поля квантуется и пропорциональна магнитному квантовому числу m.

Подстановка импульса. В магнитном поле длина волны де Бройля определяется полным импульсом . При изменении поля меняется векторный потенциал A и скорость заряда за счет явления электромагнитной индукции, полный импульс сохраняется и ему сопоставляется оператор неизменной формы

. (7.12)

Действие магнитного поля на квантовую систему учитывается подстановкой импульса

. (7.13)

В формулах, описывающих систему без магнитного поля, оператор кинетического импульса заменяется выражением (7.13). Электрическое поле со скалярным потенциалом учитывается дополнительным слагаемым потенциальной энергии

. (7.14)

Операторы физических величин. С учетом (7.13) и (7.14) получаем гамильтониан, уравнение Шредингера и плотность тока вероятности в электромагнитном поле

, (7.17)

, (7.18)

. (7.19)

Соотношения неопределенностей для проекций скорости. Используя (7.13)

и

, , ,

находим

,

,

. (7.21)

Операторы проекций кинетического импульса заряда в магнитном поле не коммутируют.

Для операторов скорости

, ,

из (7.21) получаем

,

,

.

Некоммутативность операторов приводит к соотношениям неопределенностей

,

,

. (7.22)

Проекции скорости заряда в магнитном поле определяются одновременно с ограниченной точностью.

Date: 2015-05-19; view: 812; Нарушение авторских прав