Для осесимметричной системы

Если потенциальная энергия системы имеет ось симметрии, т. е. не зависит от угла поворота вокруг оси z, тогда используется цилиндрическая система координат, в которой .

Гамильтониан системы в цилиндрических координатах

, (5.15)

где

– кинетическая энергия радиального движения в плоскости (x,y);

– кинетическая энергия вращения в плоскости (x,y);

– проекция момента импульса на ось симметрии;

– момент инерции относительно оси симметрии;

– кинетическая энергия движения вдоль оси симметрии;

– оператор проекции импульса на ось z.

Оператор коммутирует со всеми слагаемыми гамильтониана

,

,

,

тогда

,

.

Проекция момента импульса сохраняется с течением времени и имеет определенное значение вместе с энергией. В результате осесимметричное состояние характеризуется собственными значениями операторов и , т. е. числами Е и m, или волновым числом и магнитным числом m

.

Радиальная зависимость потенциальной энергии . Если потенциальная энергия не зависит от z, тогда оператор коммутирует со всеми слагаемыми гамильтониана

,

.

В результате

,

.

Проекция момента импульса на ось z и импульс вдоль этой оси сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. Состояние характеризуется собственными значениями операторов , или волновыми числами и , и магнитным числом m:

.