Одномерная потенциальная яма

Если потенциальная энергия имеет минимум, меньший значений при , которые считаем одинаковыми и равными нулю, то это потенциальная яма. При движение частицы не ограничено, она свободна, ее энергия имеет непрерывный спектр, яма лишь рассеивает частицу. При частица захвачена ямой, состояние связанное, спектр дискретный.

Потенциальными ямами для электрона являются: атом, кусок металла или полупроводника, квантовая точка, осциллятор и т.д.

Свойства связанных состояний. При частица находится в ограниченных пределах и имеет дискретный спектр , где – главное квантовое число. Состояние с наименьшей энергией E ₀ называется основным, остальные – возбужденные. Функции связанных состояний вещественные и являются стоячими волнами.

А. На краю ямы при выполняется . За пределами области классического движения

, ,

уравнение Шредингера (3.1)

получает вид

,

где коэффициент затухания

.

Физическое решение экспоненциально убывает при

,

где

(3.17)

– характерное расстояние от края ямы, где еще вероятно обнаружить частицу. Чем выше уровень энергии, тем дальше от края ямы можно обнаружить частицу.

B. Для симметричной ямы

уравнение

не изменяется при замене . Множество общих решений распадается на линейно независимые и взаимно ортогональные подмножества четных и нечетных решений

,

,

,

.

C. Число нулей волновой функции является номером состояния и называется главным квантовым числом Оно определяет длину волны , импульс и полную энергию частицы. С ростом n уменьшается , увеличиваются и .

D. Между двумя последовательными нулями функции состояния находится нуль соседнего по энергии состояния.

E. Спектр состояний одномерной ямы невырожденный – состояния с разными волновыми функциями имеют разные энергии.

F. Множество связанных состояний образует ортонормированный базис

. (3.20)

Произвольное состояние частицы в яме разлагается по этому базису, является суперпозицией состояний с разными энергиями, частицу можно обнаружить с некоторой вероятностью на любом уровне.

Борновский параметр. В яме с характерной шириной а из соотношения неопределенностей

получаем характерный импульс и кинетическую энергию частицы

, .

Мера воздействия ямы на частицу определяется безразмерным борновским параметром, показывающим насколько велика энергия ямы по сравнению с кинетической энергией частицы:

, (3.22)

где – характерная глубина ямы. При яма слабая, при яма сильная.