Частные случаи одномерных стационарных состояний

Свободная частица. При отсутствии внешнего поля , уравнение (3.2)

с волновым числом

имеет общее решение

. (3.3)

Составляющие бегущие волны

При высокой температуре и большом ящике тепловая энергия превышает расстояние между уровнями, дискретность спектра не проявляется и спектр энергии квазинепрерывный.

При низкой температуре и малом ящике тепловой энергии не хватает для перевода системы между уровнями и существенна дискретность спектра.

Состояние n занимает в координатном пространстве объем, равный размеру ящика:

,

в импульсном пространстве неопределенность

,

в фазовом пространстве

. (3.9)

Любое состояние n в одномерном потенциальном ящике занимает фазовый объем, равный постоянной Планка – основное положение статистической теории, следующее из соотношения неопределенностей.

Частица в области, недоступной для классического движения. У стенки ящика при полная энергия частицы равна потенциальной энергией , кинетическая энергия и импульс обращаются в нуль, частица останавливается. При вне ящика:

,

кинетическая энергия , импульс – мнимый, поэтому классическая частица не существует.

Уравнение Шредингера

при получает вид

,

где коэффициент затухания

; .

Уравнение имеет не равное нулю решение. Квантовая частица обнаруживается вне потенциальной ямы с некоторой вероятностью благодаря туннельному эффекту. При , общее решение

, .

Нормировка

в области выполняется только для убывающего с ростом x частного решения. Полагаем , получаем

.

Плотность вероятности обнаружения частицы экспоненциально уменьшается при удалении от края ямы

,

где расстояние затухания

.

В частности

, ,

κ – расстояние от края ямы до места, где вероятность обнаружения частицы уменьшается в раз. Чем больше , тем меньше κ и быстрее уменьшается вероятность с удалением от края ямы.