Уравнение Шредингера. Уравнение для нахождения волновой функции системы, описываемой гамильтонианом , получил Э

Уравнение для нахождения волновой функции системы, описываемой гамильтонианом , получил Э. Шредингер в 1926 г. Волновое уравнение Шредингера используется, если потенциальная энергия зависит от времени. Система с независящей от времени потенциальной энергии описывается стационарным уравнением Шредингера.

Правило сопоставления. При переходе от классической теории к квантовой физическим величинам сопоставляются операторы. Соотношения между динамическими характеристиками сохраняются, если их квантовые аналоги описываются эрмитовыми операторами.

Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории

.

Переход к операторам

, , ,

где – оператор Лапласа, дает оператор Гамильтона

. (2.53)

Волновое уравнение Шредингера для получаем из (2.52) и (2.53)

. (2.54)

Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени , то полная энергия E сохраняется и состояние стационарное. В (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены, решение ищем в виде

. (2.55)

Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на , и находим

.

Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому они равны постоянной, равной Е, как показано далее. Для уравнение имеет решение

. (2.56)

Для получаем стационарное уравнение Шредингера

. (2.57)

С учетом это уравнение для собственной функции гамильтониана

, (2.58)

следовательно, Е – полная энергия. Из (2.57) для одномерной системы получаем

. (2.59)

Стационарное состояние с энергией E

(2.60)

периодически зависит от времени с частотой

. (2.61)