Матрицы Паули. Собственные функции оператора спина электрона

Свойства матриц Паули

А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В.

Г. Любая матрица (2 2) может быть представлена в виде: . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули () образуют полный набор матриц (2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. . В частности, , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

Рассмотрим теперь такой вопрос. Пусть частица находится в состоянии

(10)

Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось и с какими вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора и разложить по ним функцию (10).

Решаем уравнение (11)

или (12)

Система однородных алгебраических уравнений (12) имеет ненулевые решения в том случае, когда определитель этой системы равен нулю

(13)

Отсюда находим возможные значения проекций спина на ось (которые, как это и должно быть, равны возможным значениям проекции спина на ось ):

(14)

Подставляя теперь собственные значения (14) в систему уравнений (12), находим собственные функции

(15)

(множители возникли из условия нормировки).

Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет следующий вид

(16)

Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных значений проекции спина на ось в состоянии (10):

(17)

Из формул (17), в частности, следует, что если частица находится в состоянии с определенной проекцией спина на ось ( или ), то вероятности различных значений проекции спина на ось одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось равно

(18)

Этот же результат можно получить, с использованеим квантовомеханической формулы для средних

(19)

где - спиновая функция (10), а матрица оператора определяется формулой (8).