Законы сохранения в квантовой механике

Пусть не содержит обращения во времени и является преобразованием симметрии. Представим, что есть сколь угодно малое значение , которое определяет :

,

где - эрмитовский оператор.

Если разложить значение оператора в ряд, то получится:

,

т.е. преобразование отличается от тождественного на бесконечно малую величину. - унитарное преобразование и для него выполняется два условия симметрии, отсюда следует, что – преобразование симметрии.

Рассмотрим теорему.

Теорема: Если имеется сколь угодно малое преобразование симметрии, то имеется сохранение величины .

Доказательство:

.

Имеет место также обратная теорема.

Теорема обратная: Пусть - интеграл движения, тогда мы можем построить унитарный оператор симметрии.

Доказательство:

.

Рассмотрим примеры.

Пусть имеется замкнутая система, в которой интегралами движения являются энергия , обобщенный импульс , момент количества движения . Тогда мы можем сделать вывод о том, что время в системе однородно, а пространство однородно и изотропно.

Покажем это.

1) - интеграл движения и - преобразование симметрии, т.е. однородность во времени;

2) - интеграл движения и - преобразование симметрии, т.е. однородность в пространстве;

3) - интеграл движения и - преобразование симметрии, т.е. изотропность в пространстве.

А теперь рассмотрим, как используется симметрия для решения конкретных задач.