Х—? у~~? г — ? а)(3;2;6); Ь)(3; -2; 6); 4; б); й;г(|;4;6); е)&Л

Ъ) 2;

С)-и

й) -2; е)0.

4.

С(4;0;4), созф

5. АВСВ — трапеция, ЕР средняя линия. АВ • ЕР— ? а) 10;

с) 7;

6.

ОАВС — параллелограмм. у = АВЕС. ф—? а; 90°;

&/45°; с; -45°;

й; зо°;

е; 60°.

АВСО — трапеция, ЕР — общая средняя линия для трапеции и треугольника.

ВС(2;1;-2),

~МК{х;у;г)-1 а;(-3;-^;3); ь;(-7;^^;

сД7; ^;-7); й;(^;7;-7);

8. |АВ| = |АС| = \АЦ = 6 см, \ВС\ = 4 см, |Б^1 = 2 см,

22; Ь) 24; с; 27; й; 30; е,) 32.

9. |АО| = 10см,

АВС1) — квадрат, ос±р. о; 10; &;12; с) 13;

10. а ± Р, |АО| = |ВС| = 3 см, \ВЦ = \АС\ = 4 см,

А(2,3,0)

Ф=АД ВС.

СО8 ф — ?

⁷ ,,7

Е>1

Дополнительные задачи

232. АВСВ — параллелограмм, а точка Е на стороне ВС такая, что
\ВЕ\: \ЕС\ = 2:3. Выразите вектор АЕ через векторы АВ и АС •

233. Докажите, что если диагонали четырехугольника при пересечении
делятся пополам, то такой четырехугольник есть параллелограмм.

234. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен основаниям.

235. Дан параллелепипед АВСВА₁В₁С₁В₁. М,М,Р — середины отрез­
ков ВВ_г, СВ_Х, ВС_г соответственно. Разложите по векторам
р = АВ~1, д = АО, г = АА_х векторы: 1) АВ; 2) ~АС[; 3) АЛГ;
4)1$, Яе[В₁С₁], где Щ : В~Д = 5 :11.

236. Вне плоскости параллелограмма АВСВ взята точка О. Разло­жите по векторам а = ОА, Ь = ОВ, с=ОС векторы: 1) ОМ, где М = (АС) о (ВВ); 2)ОВ;3)ОК, где К— середина АВ. Найдите координаты вершины и координаты точки пересече­ния диагоналей параллелограмма АВСВ: 1) А(0; 0; 0), В(1; 2; 3), С(-1; 1; -2); 2) А(-1; 2; 1), В(0; 4; 4), С(-2; 3; -1). С помощью векторов докажите, что если прямая перпендикулярна двум сторонам треугольника, то она перпендикулярна и третьей стороне.

Три ребра тетраэдра, исходящие из одной вершины, равны, углы между ними тоже равны. Докажите, что каждое ребро такого тетраэдра перпендикулярно противоположному.

240. Точка К— середина ребра АС правильного
тетраэдра АВСВ. Найдите косинус угла меж­
ду прямыми АВ и КВ.

241. Скорость течения реки — 1,2 м/с. Катер
движется со скоростью 3 м/с перпендикулярно
берегу. Определите скорость движения катера
по отношению к реке.

242. К концу кронштейна приложена сила
Р = т§ ~ 42 Н. Найдите силу сжатия стержня
ВС и силу растяжения стержня АВ (рис. 69).

243. Проволока закреплена в точках Л и С, а в
точке В приложена сила Р= т§= 45 Н. Най­
дите силу натяжения на участках АВ и ВС
(учитывая, что АВ расположена горизон­
тально, рис. 70).

244. Проволока закреплена в точках А и В, а в
точке С приложена сила Р = тп§ = 45 Н.
Найдите силу натяжения на участках АС и
ВС, если точки А ж В находятся на одном
уровне (рис. 71).

245. Основание АВ равнобедренного треугольни­
ка АВС лежит в плоскости ос (а Ф (АВС)).
Какой угол больше: 1) угол между прямой
АС и а? 2) между прямой СВ и а? (В —
середина стороны АВ).

246. Проекция равностороннего треугольника
на плоскости, проходящей через одну из его
сторон — прямоугольный треугольник. Най­
дите угол между стороной треугольника и
плоскостью проекции.

247. Дан ромб с диагоналями й_г и й_г Через его

сторону проведена плоскость у, образующая с другой стороной угол. Найдите площадь проекции ромба на плоскость.

248. Концы отрезков АВ и СВ принадлежат параллельным плоскос­
тям а и (3. Проекции этих отрезков на одну из плоскостей
соответственно равны а и Ъ, а углы ((АВ) /. а) и ((СО) А а) относят­
ся как 1 : 2. Найдите расстояние между плоскостями.

249. Из точек А и В, принадлежащих одной из граней двугранного угла,
проведены перпендикуляры АА_г, ВВ_г на плоскость другой грани
и перпендикуляры АЛ„ ВВ₂ на ребро. Найдите:

1) \ВВ₂\, если |АА₁| =15 см, \ЙВ_г\ = 27 см, \АА₂\ = 20 см; 2) \АА_Х\ и [ВБу, если \А_гА₀\ = тп, |ВД| = п, |АА₁| + \ВВ_г\ = р.

250. Угол между плоскостями АВС и ВВС равен 45°. Найдите \АВ\,
если |АВ|=15 см,|ВС|=14 см, |АС|=13 см, \ВВ\=\ВС\= 9 см.

''М.Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного ср. Из точек АшВ проведены перпендикуляры АС и ВВ к ребру двугранного угла. Известно, что |АС| = 10 см, \ВВ\ = 5 см, \СВ\ = 12 см. Найдите |АВ|, если: 1) <р = 90°; 2) ср = 60°.

252. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в плоскости а, его катеты наклонены к этой плоскости под углами 30° и 45°. Найдите угол между плоскостью треугольника и плоскостью а.

'МУЛ. В тетраэдре АВСВ все ребра, кроме ребра ВС, имеют разные длины, АСАВ = 90°. Найдите величину двугранного угла АВ.

254. Модель параллелограмма АВСВ, у которого \АВ\ = 2 дм, \АЦ =
= 3 дм, /.ВАВ = 60°, перегнута по диагонали АС так, что обра­
зовался двугранный угол в 120°. Какую величину после этого
имеет угол между сторонами АВ и АО?

255. Модель ромба со стороной а и диагональю ВВ, равной й, перегну­
та по этой диагонали так, что образовался двугранный угол,
равный ф. \АС\ — ?

256. Точки А и В принадлежат различным граням прямого дву­
гранного угла и находятся на равных расстояниях \АА₁\ и |ЛВ₁| от
его ребра. Известно, что \АВ\: \АА₁\ = 2. Найдите: 1) угол между
прямой АВ и ребром двугранного угла; 2) углы между прямой
АВ и каждой из его граней.

■

Ответы и указания

16. Так как С б (АВВ) и М е (АВВ), то (СВМ) = (АВВ). 18. Боли обозначим ЛГ = а п Ь, то (МЫ) — искомая прямая. 19. 1) правильно, 2) нет. (Возможно А е т). 20. 1) прямая, луч, пустое множество; 2) луч, отрезок, точка, пустое множество; 3) плоскость, полуплоскость, пустое множество; 4) полуплоскость, полоса, угол, прямая, пустое множество; б) отрезок, точка, пустое множество; 6) треугольник, четырехугольник, отрезок, точка, пустое множество. 36. Нет. 43. Если точка не принадлежит прямой, то можно провести бесконечно много плоскостей. 62. Нет. 63. Возможно; нет. 64. Нет. 67. Возможны треугольник, правильный треугольник, прямоугольный четырехугольник, квадрат, трапеция. 77. 1) 7 м; 2) \ВВ^ = а+ с + Ь. 79. Возможно, пересекутся или параллельны. 80. Пересекаются (или скрещиваются). 87. 45°. 88. 90°. 89. Бесконечно много. 90. Бесконечно много. 92. 5 см. 93. 10 см, 2743 см. 95. Возможно. 96. а) =21 см; б) зУ2а ; в) « 14 дм. 97. Существует. 98. 2У2 см. 99. Нет. 100. Единственная прямая; бесконечно много. 101. С плоскостью а не пере­секается. 102. 9 см². 106. 1б72см². 107. 1) 26 см; ЗУэТсм²; 2) а(1+2 Л), ~а\

108. 1 см или 0,6 см. 109. 1) 3 см; 2) 10 дм; 3) 15 см. 111. -Д см, 4 см, =3,4 см. 113. 2 дм;

16 дм. 114. Окружность с радиусом 0,6 дм и с центром в основании перпендикуляра. 115. 1) 15 см, 41 см; 2) 15 см, 41 см. 116. 9 см; 0 см или 15 см; 9 см. 119. 12 см. 120. 5 см, 3 см. 121.Указание: а) если предположим В е а и а > Ь, то х = Ь; б)если

предположим А е а и а < Ь,то х =—%ц—. 122. 8 см, 17 см. 123. 4т² + с² • сов²а . 124. 96 см, =69,3 см. 125. 3 см. 126. 1 см. Указание: рассмотрите уравнение

4 - х² ~ 13 - 4Х², где х — высота треугольника. 127. д/^²~-!г ^и

128. у1п²-Н.² . 129. 5 см. 130. 1) 4 см; 2) 3,6. 132. 35 дм. 133. 6 дм; 134. 8 м. 135. 0,5 дм;

л/2

136. '12т²-п² ; *1п^г-т² ; 137. 2 дм. 138. 1,2 дм; 6,2 дм. 139. ~ а. 140. 2 дм.

141. Возможно, бесконечно много. 142. 1) 12 -Уз см; 12 см; 2) 16 см, 8 Уз см; 3) 10 Уз , б УЗ . 143. 50\ 144. 45*. 145.ЗУ2 дм. 146. 12У§ см. 147. бУ1см. 148. Воспользуйтесь теоремой косинусов. 149.=44 м. 151. 1) 4Убсм; 2) 2У15 см. 152. а или а-УЗ . 153. «42 см. 154.16 см. 155. ЗУЗ дм и 3 дм. 157.17 см. 160. т[а?~+ Ь² + с² - 2Ьс ■ сов_ф .

■

161.30°. 164. 13 см. 165. 30°. 166. А-У2 . 167. 45°. 168. 1) Уа²+Ь²+с²"; 2) Уа²+6²-с² . 169. 17 см. 170. 1)тУ2 ; 2)тУЗ ; 3) 60°. 174. [(2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 6), (2; 4; 0),

(0; 4; 6)]. 175. 4У2 ; У41. 176. Расстояние до плоскости ху равно 3, до плоскости хг равно2, до плоскости уг равно 2; расстояния до координатных осей х,у,г соответ-

ИВенноравны У13 , У13 , 2У2 ; расстояние от начала координат У17 . 177. Точка А

1 1 ближе. 178. (-1, -2, 0). 179. -4. 180. Д(0; -2; 0). 181. К(- ^ ; ₄ ; 0). 183. Щ-1; 7; -2).

184. Возможно. 185. Равно; нет. 186. (1; 3; 3). 187. (6; -4; -3). 188. (-3; 2; -б). 189.Уи; Ш: 190. х = ±3. 191..а (6; -3; 3) или а (-6; 3; -3). 193. (10; -2; 6).

194. 0(0; 0; 0). 195. в) б. 196. АС.

5-,---16.201.(11,-2,-13). 202.

/70 . 2ОЗ.в = |;

204. 1) 5 + 55; 2) 5-56. 205. 1) \а\ 2) \а . 207. 1) Ь-а; 2) 2Ь-а; 3) 6--*а.

218}. 1) 90'; 2) 50°; 3) 140°. 211. 1) 0; 2) -12. 212. 1)д,- 2) -1. 213. 46°. 215. 150. 216. созС =•/]§. 217. .ОО = |(зй + 5 + г). 210. 60°. 220. а,Ь— стороны ромба. 230. 145 м. 282. АВ+^ВС. 235. 1) р; 2) ]? + д; 3) д+р-^г; 4) ^Р + Я+^г. 286. 1) ОМ=^а+^с; 2) 05 = а+ с-|,- 3) <Ж=й+*(с-&). 237. 1)(-2; -1; -5);

~--;^;-1|; 2) (-3;

= ^?. 241.

ч - - ,' °

242. ⁴² «, 73,2 Н; -, ⁴|_к. « 35 Н. 248. 15^3 « 26; ЗоУз - 52,0.244.

245. Больше во втором сл^'чае. 246.45°. 247. * -^Ы1й²₂ - (41 + й|)² ■ 8.т²ср . 248. ■ 7о(а^2б).

Указание: рассмотреть систему Л ^ _ . _с^„2х' ^{где че}Р^ез ^ обозначено

расстояние. 249. 1) 36 см; 2) ЛЕ-,_; ."!'. . 250. =9,17 см. 251. 1) =16,4 см;

га + га т + л

см. 252. 60°. -253. агссоз4- « 54°44'. 254. агссоз

■уз

Ответы к тестам

Т-2.2