Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Quot;Со





Рис. 56
+ а\ + а\

Отсюда \а\ =

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а ТТ Ь) или противоположно направлены Т4- л). Если векторы ОМ и ОМ коллинеарны, то точки О, Лг, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

Вопросык задания

1. Как изображаются векторные величины?

2. Определите координаты вектора, начало которого А(х1; уг; г,), а конец В(х-^ у2; г2).

3. Как вычислить длину вектора?

4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направ­
лениях?

Задачи

■ ■ . ■ ,

А

185. Точка В — середина отрезка АС, а С — середина отрезка ВО.

Равны ли векторы С А и ВВ ? АВ и ВС ?

186. Найдите координаты вектора АВ, если А(2; 4; 3) и В(3; 7; 8).

187. Найдите координаты начала направленного отрезка СВ, соот­
ветствующего вектору с (-8; 2; 4), если его конец В(3; -2; 1).

188. Найдите координаты конца направленного отрезка МИ, соот­
ветствующего вектору т (-■ 1; 3; -2), если его начало М(-2; -1;-3).

189. Найдите длины векторов т(3; 2; 1) и Я (-2; -1; 6).

190. Длины векторов а (2; 1; 3) и В (-1; т, 2) равны. Найдите х.

191. Найдите координаты вектора а (21; -I; г), если его длина ^/54 .

192. Коллинеарны ли векторы: а) а (3; 3; 0) и Ъ (2; 2; 7); б) т (0; 2; 0)
и п (0; -1; 0); в) р(2; 1; 3) и д(4; 2; 6)?


I-------- :________


 
 



§25. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

Действия над векторами в пространстве определяются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов а(ах, а2, а3) и Ъфг, Ь2, Ъ3) называется вектор а + Ъ с координатами г + Ьх; а2 + Ь2; аг + Ь3). Для любых векторов а, Ь и с справедливы равенства:

1) а + Ь = Ъ + а — переместительный закон сложения;



2) а + \Ъ + с)=\а + ъ)+с — сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

Действительно, для любых трех точек А(аг, а2, а3), Вфг, Ъ2, Ьг),

,, с2, с3) ~АВф1 - аг; Ъ2 - а2; Ъъ - а3) и ВС (сг - &,; с2 - Ь2; с3 - Ь3).

Отсюда АВ + ВС = АС (с, -ал с„ - ао; с. - аЛ.

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника (рис. 57).

Также применяется и правило параллелограмма-. Оно часто используется в физике.

Если АВСВ — параллелограмм (рис. 58), то АВ + АВ = АС.

.**. . а^ | ч^х/ -г хли тяР — АР. _ Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называют противоположными. Из определения следует, что у противоположных векторов соот­ветствующие координаты имеют противоположные знаки.
 

Рис. 57

Рис. 58

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, Д С, В, Е, Р, то всегда


Определение. Разностью векторова иЬ называется такой вектор с , который в сумме с вектором Ъ дает вектор а.

Если а (аг; а2; а8) и Ь фг; Ь2; Ь3), то а-Ъ = с(а1- &,; а2 - Ь2; а33). Определение. Произведением вектора а (аг; а2; а3) на число к называется вектор к ■ а = (к- аг; к- а2; к- а3).

Из определения вытекают следующие свойства:

2) (т + п)-а=т-а+п-а и равенство \к' а\ =\к\ • |а| (здесь к, т, п — числа).

Вопросы и задания

1. Повторите определение сложения двух векторов и запомните.

2. В каких случаях удобно пользоваться "правилом параллелограмма"?

3. По какому правилу выполняется сложение нескольких векторов в пространстве?

4. Повторите и запомните свойства сложения векторов.

5. Какие векторы называются противоположными? Что можно сказать о знаке
их координат?

6. Что называется разностью двух векторов?

7. Какой вектор называется умножением вектора а (ах; а2; а3) на число Ш

8. Повторите и запомните свойства умножения вектора на число.

Задачи

А

193. Найдите сумму векторов а (4; 2; -4) и Ъ (6; -4; 10).

11 5 2;4

194. Найдите сумму векторов о[ 0; 5; - , , ,

195. Найдите сумму векторов: а) 'МЫ и ЫК', б) Р8 и РЕ; в) АВ,
ВС, СВ
и ВА.

196. АВСВ — тетраэдр. Чему равна сумма АВ +ВВ+ВС ?

197. АВСВ — квадрат. АВ = а, АВ = Ъ. Постройте векторы: 1) За;
2)2&;3)3а + 26.

198. АВСВ — параллелограмм. АВ = а, АВ = Ъ . Постройте вектор
За-2Ъ.




199. Найдите разность векторов а-Ъ, если: 1) а (8; -1; 5), Ъ (-2; 3; -2);
2) 5 = 0, 5(2;-3;4).

200. Умножьте вектор с (5; -2; 3) на 2; х; - ^ ; 0.

201. Найдите координаты вектора 2 -АВ + 3 -ВС, если Л(2; 1; 4),
Я(3;0;-1)иС(1;-2;0).

202. Найдите длины векторов За - Ъ и 2а + ЗЬ, если а (2; 0; -3) и


а)


Рис. 59




 


 
 

203. Даны векторы а (2; п; 3) и Ь (3; 2; т). При каких тип эти
векторы коллинеарны?

204. АВСВ—параллелограмм. Точка Рделит сторону ВС на два отрез­
ка в отношении 1 : 4. АВ=5, ВВ = Ь, Выразите: 1) АС; 2) ВВ
через а,Ъ.

205. АВСВ— трапеция. Основание АВ в три раза больше основания
Вв. ЕР — средняя линия трапеции, АВ=а. Выразите вектор;
1) ВС: 2) ЕР через вектор о .

206. Точка О — центр правильного шестиугольника АВСВЕР, Дока­
жите, что: 1) АВ-ВС=>ОВ; 2) АВ-ВС=АО.

С ■

207. Медианы ВР и АЕ треугольника А8С пересекаются в точке О.
АВ=а, РС = Ь. Выразрхте: 1) ВР; 2) ВС; 3) СЕ через а и &.

208. Пусть М ш N — середины отрезков АВ и СД лежащих на
скрещивающихся прямых, а О — середина отрезка ММ,
Докажите, что ОА+ОВ+ОС+ОВ= 0.

#26. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если отложить векторы а, Ъ, с, изображенные на рисунке 59, а, от любой точки О, то все эти три вектора будут лежать в одной плоскости. Поэтому они компланарные.

 


Векторы т, п, к, изображенные на рисунке 59, б, не компланар­ные, так как при отложении их от одной точки они не лежат в одной плоскости.

Три некомпланарных вектора г (1; 0; 0), 7 (0; 1; 0) и к(0; 0; 1) называют ортами (единичными координатными векторами). Всегда

если а х; а2; а3), то каждый раз можно представить только в виде (рис. 60):

а = аг ■ I + а2 ■ / + а3 • к .

Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам.

Вообще если даны три некомпланарных вектора ОА, ОВ, ОС, то

любой вектор ОВ можно представить, притом единбтвенным способом, в виде:

ОВ=хОА + у ,

где х, у, г — некоторые действительные числа (рис.61).

У

О.

% .1

Рис. 61

Рис. 60



 


§27. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным произведением векторов а (аг; а2; а3) и ЬФУ; Ъ2; Ь3) называется число аг ■ Ъг + а2 • Ъ2 + а3 • Ь3.

Таким образом, по определению а • Ъ = а, • Ьг + а2 ■ Ъ2 + а3 ■ Ь3. Так же, как и на плоскости, в пространстве доказываются четыре свойства

скалярного произведения:

1) а- а 2>0;

2) о-5 = 5-5;

3) [ 4)

Я

Рис. 62

Определение. Уелож

между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки (рис. 62).

Угол между противоположно направленными векторами равен 180°, а между сонаправленными — 0°.

Теорема 21, Скалярное произведение векторов равно произведе: нию их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.

а'Ъ = Теорема доказывается так же, как и на плоскости. Из последнего равенства для ненулевых векторов следует: а- Ъ = 0 <=> а ± Ь . - Задача 3. Найдите косинус угла между векторами а (1; -2; 2) и 6(-4;3;0). Решение, й • Щ ■ созср = п'Ь.Отсюда
а-Ь
1-(-4) + (-2)-3 +

а'Ъ = \а ' Ц'со

-10

Ответ: сов® = - -.

оВопросы и задания

 

1. Какие векторы называются компланарными?

2. Какие векторы называются не компланарными?

3. Какие векторы называются ортами?

4. Как вычислить скалярное произведение двух векторов?


 

5. Повторите и запомните свойства скалярного произведения.

6. Запомните теорему о скалярном произведении векторов.

7. Объясните, почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно

нулю?

Задачи

209. Разложите по ортам векторы: 1) а (7; 4; -2); 2) о —; -; -3 .

...................................... 13 7 )

210. В треугольнике АВС угол С прямой, а А В = 40°. Найдите угол

между векторами: 1) СА и СВ; 2) ВА и СА; 3) СВ и ВА.

211. Найдите скалярное произведение векторов: 1) 5(1; 2; 4),

6 (-8; 2; 1); 2) р(-2; -3; 1) и д(2; 3; 1).

212. При каком значении п данные векторы перпендикулярны:

1) а (2; -1; 3), Ь (1; 3; п); 2) а (га; -2; 1), Ь (п; -п; 1)?

213. Найдите угол между векторами т(-2; 2; 1) и п (-1; 0; 1).

214. Даны четыре точки А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0), Щ.2; -3; 1).

Найдите косинус угла между векторами АВ и СВ.

В

215. Даны векторы а (1; -5; 2) и Б (3; 1; 2). Найдите скалярное произ­
ведение векторов 2а + Ъ и За - .

216. Даны точки А(0; 1; -1), ВЦ; -1; 2), С(3; 1; 0). Найдите косинус
угла С треугольника АВС.

217. В тетраэдре В АВС точка Е — середина стороны ВС, а точка О

середина стороны АЕ. Выразите ВО через векторы ВА = а , ВВ = Ь, ВС = с.

С

218. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восстановлен
перпендикуляр АВ к плоскости треугольника. Найдите косинус

угла ф между векторами ВС и ВВ, если угол АВВ равен а, а угол АВС равен (3.

219. Наклонная образует с плоскостью угол 45°. Через основание
наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к
проекции наклонной. Найдите угол ф между этой прямой и
наклонной.


 


§28. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторы широко применяются в математике и физике. В геометрии с их помощью выводят уравнения плоскостей, прямых и других фигур, решают многие интересные задачи. Для этого данные в задаче соотно­шения между геометрическими и физическими объектами сначала как бы переводят на язык векторов. После чего преобразовывают полу­ченные векторные равенства и снова переводят их на обычный язык геометрии или физики.

В школьной практике часто используют следующие равенства и утверждения:

1. Если прямые АВ и СВ перпендикулярны, то АВ • СВ = 0;

2. й' Ъ — Щ ' Щ #СО8(р;

3. Если О — любая точка в пространстве, а М — середина отрез­
ка АВ (рис. 63) или точка пересечения медиан треугольника АВС
(рис. 64), то соответственно

СЖ= | ((М + ОВ) или ОМ= *(рА + ОВ + ж).

Докажем последние равенства. Для любых трех точек справедливы равенства ОМ +МА = ОА, ОМ+МВ = ОВ, ОМ+МС = ОС.

Если сложим два первых из них и учтем, что МА + МВ = 0, полу-чим 2 • ОМ = ОА + ОВ, откуда 0М= * [РА + ов)-

Если теперь сложим все три равенства и учтем, что ~МА + МВ + + МС=б, получим, 3-ОМ= ОА + ОВ + ОС, откуда ОМ=1-(ОА + ОВ + ОС) (рис. 64).

Приведем несколько примеров на применение векторов в математике и физике.


 

Пример 1. Составить уравнение плос­кости, перпендикулярной вектору п (а; Ъ; с), и проходящей через точку М(х0, у0, 20).

Решение. Пусть К(х, у, г) — произ­вольная точка рассматриваемой плоскости а

(рис. 65). Векторы п (а; Ь; с) и МК (х - х0; У
у — у0; 2 —
20) перпендикулярны. Поэтому их гх
скалярное произведение равно нулю: Рис ^5

а • (х - х0) + Ъ • (у - у0) + с • (г - г0) = 0.

Это и есть искомое уравнение плоскости а. Если обозначить й = -(а • х0 + Ъ • у0 + с • го+ сО, его можно представить в виде

ах + Ъу + сг + Л = 0. (1)

Итак, координаты х, г/, г каждой точки плоскости а удовлетворяют полученному уравнению. Можно доказать также, что координаты любой точки, не лежащей на плоскости а, этому уравнению не удовле­творяют.

Пример 2. Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон.

Доказательство. Пусть АВСВ — параллелограмм (рис. 66).

Рис. 66

Ясно, что АС = а + Ъ , Ъв = а-Ь. Обе части этих равенств скалярно ум­ножим сами на себя: АС —\а + Ь)

и

Найдем сумму квадратов диагоналей:

АС2 + Ш2 = (а + Ь]+ (а - Ъ)=

о2 + 2а Ь + Ъ2 + а2 -23 • Ъ + Ъ2 = 2(а2 + Ь2). Теперь с учетом равенств а = АВ = ВС

/ ч \    
    \ \у   \
с   / \    
    л- \ \

и Ъ = АВ = ВС, получим:

АС2 + ВВ2 = АВ2 + ВС2 + ВС2 + ВА2. В'

Что и требовалось доказать.

Рис. 67

ПримерЗ. АВСВ А1В1С1В1прямо­угольный параллелепипед, К—точка пере­сечения медиан треугольника АХВВ. Доказать, что прямая АСХ проходит через К и определить, в каком отношении точка К делит отрезок АСг (рис. 67).



Решение. Так как К

точка пересечения ме
+ АВ + 1в). и АО = А~^в[, то

_^'диан треугольника АгВВ, то АК= | {аГ "

Так как АВ = В^

АА1+~АВ + АВ=

Значит АК= - АС у ■ Из последнего равенства следует, что точ-ка К лежит на прямой АСг, с другой стороны, \АСг\ = 3 • \АК\, следо­вательно, \АЩ: \КСг\ = 1:2. Задача решена.

Пример 4.К концу кронштейна приложена сила Р=т§=20Л. а = 40°. Найдите силу растяжения стержня АВ и силу сжатия стержня ВС (рис. 68).

Рис. 68

Решение. Рассмотрим парал­лелограмм ВВЕС. Силы, действующие на стержни, направлены по сторонам параллелограмма ВВ и ВС. Считая, что в треугольнике ВСЕ известны

катет \ВЕ\ = 20 и угол АСВЕ = 50°, найдем катет СЕ и гипотенузу ВС.

Имеем:

Пример 5. (На использование скалярного произведения в физике). Сила в 16 Н, действующая в направлении движения под углом 45°, передвинула тело на расстояние 4 м. Определите работу, совершенную при помощи этой силы.

Решение. Действующую силу выразим через р, а направление движения тела через 3.

Тогда \р\ = 16, |3| = 4м, ср = (> 3) = 45°.

Если для определения работы воспользуемся формулой А = \р\х х 131 • сое <р, получим А — 16 • 4 • соз45°~ 49 (Дж).

Если направление действия силы будет равнонаправлено с направлением движения, то ф = 0, а соз <р = 1. Формула вычисления работы будет А = Р • 8.


Задачи

А

220. Векторы а, Ъ, а + Ь построены с одной и той же точки. Если
вектор а + Ь делит угол между векторами а и & на равные части,
то какими будут векторы а и Ъ ?

221. Угол между векторами АВ и СВ равен 60°. Найдите угол между

векторами: 1) ВА и СВ; 2) АВ и ВС.

222. АВС — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот.

Докажите, что ОА + ОВ+ОС = б.

223. С помощью векторов докажите, что диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.

224. Катер прошел в направлении к северо-западу 2 км, а потом,
повернув на север, еще 1 км. Выберите масштаб, постройте вектор
перемещения и найдите его длину.

225. АВСВ — тетраэдр, у которого основанием является треугольник АВС. Все ребра тетраэдра равны. Точка Е—середина отрезка ВА,

а точка Р—середина стороны ВС. Докажите, что ЕР -АВ = 0.

226. С помощью векторного метода докажите, что диагонали
прямоугольника равны.

227. С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного
треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропор­
циональное между двумя отрезками, на которые он делит гипо­
тенузу.

228. Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его
основанию и равна половине основания.

 

229. Докажите, что средняя линия трапеции равна половине суммы
ее оснований.

230. Катер движется со скоростью 5 м/с перпендикулярно к берегу.
Ширина реки 720 м, скорость течения 1 м/с, вследствие чего за
каждые 5 м пройденного пути катер относит в сторону пер­
пендикулярно курсу на 1 м. На сколько метров он уйдет в сторону,
пока достигнет противоположного берега?

231. У пирамиды АВСВ ребра АВ и ВС, ВВ и АС перпендикулярны.
Докажите, что ребра СВ и АВ также перпендикулярны.




 
5(0,2,2)

А

в, кХ-- Ас
8. АВСОЕГ—правильный шестиугольник.

I)

—УС
в

К

А,^


Тестовые задания к теме "Векторы"

Тесты 3.1. 1. АВСВ — прямоугольный

с,

четырех-

угольник. ТУ А гттт!
а) 1 -на —8;
Ъ) -8;
с) -7;
й) 7;
е) 11.

2. АВСВА1В1СгО1куб. \АК\ = \КВ\ = 2 см

а; 4; 6; -4л/2; с) 5л/2; 3. АВСВА1ВХСХВ1куб.

а; 1;

&; 2;

с) 72;

</; Д;

4.

е; 272.

^ - куб.

 

^ 4; &;-5; ^ 6; й; 8; е; 9.

5. Ш) — биссектриса.

Ш-аЗ — ?

а; 25; 6; 17; с; -25; й; ||; е; -


 


 

 

>. АВОС

а; -2; &; 2; с; 1;

й; -1; е) 0.

7. АВС1)А1В1С11)1 — прямоугольный па­раллелепипед. ВХР • ОГВ — ?

а; -До;

Ь; 11; с; -11;

й) ~

а2;

6; -а2; с; 2а2;

о.

 

9. АВСВ — правильный тетраэдр.

е) /15.

а) 6;

Ъ) -12;

с) 18;

й) 21;

е) 24.

10. АВСВ — правильный тетраэдр.

\вщ = \сщ

-
 

АВ-СЕ-? а) 0; Ъ) -1; с) 1;

 

й; л/2;

е) 272.



 
 






С(0,3,б)

С(0,3,2)

В(0,4,0)

Тесты 3.2.

1. К— точка пересечения медиан.

\ОЩ = \ОМ\. ОМ (х; у; г) — ? )(213

);

Ъ) (1; 2; 3); с) (2;-4; 6);

Л) (2; в; 4);

2.

Е)(2;4;в).

Гк








Date: 2015-04-23; view: 1043; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.079 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию