Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема 5. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
Доказательство. Пусть Ь\\ а, с\\ а (рис.12,а). Докажем, что прямые бис параллельны. Соответственно определению надо доказать, что: 1) & и с лежат в одной плоскости; 2) прямые & и с не пересекаются. Предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть а — плоскость, в которой лежат прямые а и Ъ, а В — плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости а и В различны (рис. 12,6). Отметим на прямой Ъ какую-нибудь точку Б и проведем плоскость В1 через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость а по прямой Ьг (рис. 12,в). а)
Прямая Ъх не пересекает плоскость В. Если предположим, что пересекает, то точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямые &] и а лежат в плоскости а. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как она будет общей точкой плоскостей Р^ В (потому что по построению с — общая прямая плоскостей В2, В). Но это невозможно, так как прямые аи с параллельны. Значит, прямая Ъг не пересекает плоскость В. Так как прямая Ъх лежит в плоскости а и не пересекает прямую а, то она параллельна а, а значит, совпадает с Ь по аксиоме параллельных прямых. Таким образом, прямая Ъ, совпадая с прямой 61, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости В:) и не пересекает ее. Значит, прямые Ъпс параллельны. Теорема доказана. Вопросы и задания
Какие прямые называются скрещивающимися? Какие прямые в пространстве называются параллельными? Что можно сказать об отрезках, принадлежащих параллельным прямым? Дан куб АВСБА^С^: а) Укажите и обозначьте параллельные ребра куба. Сколько в кубе ребер, б) Укажите ребра, которые лежат на скрещивающихся прямых. Сколько ребер Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Объясните теорему о трех параллельных прямых в пространстве. Задачи 21. Прямые ашЪ параллельны, а & и с не параллельны. Докажите, 22. Отрезки ОА и ОВ пересекают плоскость а в точках Ах и Вг, 23. Прямые ВВХ и ССХ, изображенные на 24. Прямые АВ и СВ параллельны. Могут 25. Прямые МЫ и ЕГ скрещиваются. Мо МЕ и МТ1? А пересекающимися? Рис- 13 26. Прямые Ъ и а" скрещиваются. Что можно сказать о прямых а и с, 27. Прямые Ъ и искрещиваются. Как будут расположены прямые Ь 28. Даны две не совпадающие параллельные прямые. Докажите, что 29. Прямые АВ и СО пересекаются. Докажите, что прямые АС и СО 30. Вершины треугольника АВС —середины отрезков ОАХ, ОВХ, ОСГ 31. АВСОА1В1С1О1 — куб. Докажите, что плоскость треугольника Теорема 6 (признактгараллелъностипрямойиплоскости). Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Доказательство. Пусть а — плоскость, Ъ — не лежащая в ней прямая и а — прямая в плоскости а, параллельная прямой Ъ (рис. 14, а). Проведем плоскость р через прямые Ъ и а (рис. 14, б). Плоскости аир пересекаются по прямой а. Если бы прямая Ъ пересекала плоскость а, то точка пересечения принадлежала бы прямой а.
а) Рис. 14
32. Из точек А и Б плоскости а проведены вне нее параллельные 33. Точка С делит отрезок АВ в отношении \АС\: \ВС\ = 2:3. Парал 1^1:1^1. 34. Докажите, что середины сторон пространственного четырех 35. Докажите, что если прямые АВ и СО — скрещивающиеся, то §6. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Известны три случая расположения прямой и плоскости в пространстве: 1) прямая лежит на плоскости; 2) прямая пересекает плоскость, т.е. прямая и плоскость имеют 3) прямая и плоскость не имеют общих точек.
Но это невозможно, так как прямые & и а параллельны. Итак, прямая Ъ не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теорема доказана. Теорема 7. Если плоскость (р), проходящая через прямую (&), параллельную плоскости (а), пересекает данную плоскость (а), то линия пересечения будет параллельна данной прямой (&). Доказательство. Воспользуемся рисунком 14, б. Пусть Ъ — данная прямая, а а — линия пересечения плоскостей а и р, о которой говорится в условиях теоремы. Докажем, что а || Ь. Допустим, что апЬ = М. Тогда точка М будет общей для прямых а и & и плоскости а, т.е. Ъ о а = М е а. Но это невозможно, потому что по условию прямая Ъ параллельна плоскости а. Итак, а \\ Ъ. Теорема доказана. Вопросы и задания 1. Как могут быть расположены прямая и плоскость в пространстве? 2. В каких случаях прямая и плоскость будут параллельны? 3. Повторите и запомните признак параллельности прямой и плоскости. 4. Докажите теорему о плоскости, проходящей через прямую, параллельную Задачи А 36. Каждая из прямых а и Ъ параллельна плоскости а. Следует ли 37. Прямая а параллельна прямой Ъ и Ъ || а. Следует ли отсюда, что а || а? 38. Каждая из плоскостей аи /3 параллельна прямой а. Пересекутся ли эти плоскости? В 39. Докажите, что если плоскость пересекает трапецию по ее средней 40. Точки А и В лежат в плоскости а, а точка О — вне плоскости. 41. Сколько прямых, параллельных данной плоскости, можно
42. Плоскость а пересекает отрезки АВ и АС посередине — в точ 43. Сколько плоскостей, параллельных данной прямой, можно про 44. Через данную точку пространства проведите прямую, пересе 45. Если через каждую из двух параллельных прямых проведены 46. Плоскости а и (3 пересекаются, АВСО — параллелограмм, 47. Даны четыре точки А,В,С,О, не лежащие в одной плоскости. 48. Даны четыре точки А,В,С и Д не лежащие в одной плоскости.
§7. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Если плоскости а и Р параллельны, пишут: а || р.
Теорема 8 (признак параллельности плоскостей). Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть а и Ъ — прямые в плоскости, пересекающиеся в точке О. Пусть каждая из них параллельна плоскости Р (рис.15). Докажем, что а |! р. Будем рассуждать от противного. Пусть плоскости а и Р не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По условию а \\ Р и Ь || р. Поэтому прямые а и & не пересекают с, так как прямая с лежит в плоскости р. Теперь вернемся к плоскости а. Прямые а, Ъ и с лежат в одной плоскости, а прямая с не имеет общих точек с прямыми а, Ь. Значит, а\\с, Ъ\\с. Таким образом, в плоскости а через точку О проходят две прямые, параллельные прямой с. Это противоречит аксиоме параллельных. Итак, плоскости а и Р не могут пересекаться. Следовательно, они параллельны. Теорема доказана. Следствие. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Справедливость этого следствия прямо следует из теоремы 8. §8. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ Теорема 9. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны. Доказательство. Пусть аир — параллельные плоскости, у — секущая плоскость, а и Ь — линии пересечения (рис. 16). Докажем, что прямые а и Ъ параллельны. Предположим, что а и Ъ не параллельны. Тогда, так как они лежат в одной плоскости у, то пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р принадлежит прямым а и Ъ и, значит, является общей точкой плоскостей а и р. Но это противоречит тому, что плоскости аир параллельны. Итак, прямые а и & не пересекаются. Значит, они параллельны. Теорема доказана. Теорема 10. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть отрезки АВ и А1В1 параллельны, а их концы лежат в параллельных плоскостях а и Р (рис. 17). Третья плоскость, проходящая через прямые АВ и А1Б1, пересекает параллельные плоскости аир по параллельным прямым: (ААг) \\ (ВВ^). Кроме того, по условию теоремы (АВ) || (Л1Б1). Значит, четырехугольник АВВ1А1 — параллелограмм. Следовательно, |АВ| = |А1Б1|. Теорема доказана. Date: 2015-04-23; view: 2582; Нарушение авторских прав |