Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Двугранный угол
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, ограниченными одной прямой (рис. 50). Каждая из полуплоскостей называется гранью двугранного угла, а их общая граничная прямая — ребром. На рисунке 50, о изображен двугранный угол. Каждая из полуплоскостей аир — грани двугранного угла, а их общая прямая а — ребро двугранного угла. \
С ■ I а) Рис. 50 Проведем из какой-нибудь точки О ребра двугранного угла в его грани лучи О А и ВО, перпендикулярные ребру (рис. 50, б). Угол АОВ, образованный этими лучами, называют линейным углом данного двугранного угла. Другими словами, линейный угол двугранного угла — это угол, образованный пересечением данного двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Величина линейного угла двугранного угла не зависит от места вершины его на ребре. Например, углы АОВ, А1О,В1 равны между собой (рис. 50, б), потому что соответствующие стороны их параллельны и сонаправлены. Вопросы и задания Что называется углом между прямой и плоскостью? Что называется углом между двумя плоскостями? 3. Какие плоскости ^называются перпендикулярными? 4. Докажите теорему о признаке перпендикулярности двух плоскостей. 5. Какую фигуру называют двугранным углом? 6. Что такое грани двугранного угла? 7. Что называется ребром двугранного угла? 8. Какой угол называется линейным углом двугранного угла? 9. Как можно получить линейный угол, пересекая двугранный угол плоскостью? Задачи А 141. Прямая й пересекает плоскость а под углом 45° в точке О. Можно 142. Прямая АВ пересекает плоскость а под углом 30°. АА1 — пер 143. Одна из двух прямых, пересекающихся под углом 40°, перпен 144. Из одной точки к плоскости проведены две равные наклонные. 145. Длина общей гипотенузы двух равнобедренных прямоугольных 146. Дан двугранный угол, мера которого 60°. Точка М, лежащая в 147. Двугранный угол равен 45°. Точка О, лежащая на одной из 148. Двугранный угол равен 60°. Из точки М на его ребре в гранях В 149. На какой глубине находится станция метро, если ее эскалатор 150. Отрезок длины 24 м пересекает плоскость, концы его удалены от 151. Стороны правильного треугольника равны 12 см. Точка О, 152. Квадраты АВСО и АВС1О1 лежат в плоскостях, угол между 153. Длины перпендикуляров, опущенных из точки О на грани 154. Из точек М и Годной грани острого двугранного угла опущены
155. Из одной точки проведены к плоскости две наклонные, проек 156. Плоскости ос, (3, у попарно перпендикулярны. Докажите, что и 157. Каждая из трех попарно перпендикулярных плоскостей прохо 158. Сколько плоскостей, пересекающих данную плоскость под углом 159. Докажите, что угол между прямой и плоскостью является 160. Аи В — точки на ребре двугранного угла меры <р, АС и ВО —
Дополнительные задачи 161. Длина наклонной СО равна 40 дм, а длина его перпендикуля 162. Если один из катетов равнобедренного прямоугольного треуголь 163. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2 м, 164. Точка М находится на расстоянии 12 и 5 см от двух перпен 165. Найдите меру двугранного угла, если расстояние от точки, взятой В 166. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние Н, проведены 167. Сторона квадрата АВСВ равна 1,2 дм, точка Е находится на 168. Взаимно перпендикулярные плоскости аир пересекаются по 169. Даны плоскости а и В. а ± В и апр = й(й — прямая). В плоскос 170. Плоскости квадратов МЫЕР и МЫЕ1Р1 перпендикулярны,
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ "ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ" Тесты — 2.1 1. АВСВ — квадрат, ё±а, \АС\ = 8 см, \ОЕ\ = 4 см, \ЕС\ =х—? а) 2л/2; ь; зУг; / . Л) 5/2; I ■ Г
171. Как через данную прямую провести плоскость, перпендику 172. Концы отрезка МЫ лежат на гранях двугранного угла, а рас
2. ОА1ОВ1 ОС, \ОА\ = |0В| =? 6 см, \0С\ = 8 см, Р = |АВ| + |ВС1 + |СА| —? а)10/2; с) 10 й; 20 + Зч/2; е; 10 + 4ч/2. 3. АВСГ1>А1В1С11)1— куб. Найдите угол между прямыми АгВ и ВСГ а) 45°;
&; 60°; с; 70°; Д) 80°; е>90°. X" 4. АВОО — ромб, й±а, /ЗАВ = 60°, 1АВ| = 6см,|О^|=4см, а; Юл/3; Ъ) М; с) 2/Г7; й)6; в,
с,
5. АВСБ — ромб, а ± а, ААВ-С = 120°, \АЦ = 8 см, \ОЕ\ = 3 см, |#Д —? ^ 5; 6; 5л/2; с; 5Д; 6^8; е; 8/2. 6. Л ЛВС, АВ = 90°, АВ 1а, \АА\: \АХЩ = = 7:11140^:^01?
е) 6. 10. АБС1) — ромб, й ± а, ОЯ 1 АВ, АВСВ = 60°, \АВ\ = 8 см. |СД| —? а) ъ) Зл/з; с) 4Уз; ё) бТз; е; зУ2. Тесты 2.2 1. 0С1 а, |О4| = 6 см, \ОВ\ = 8 см. Х-? I/-? а; 3; 7; Ь; 7; 3; С^ 12' 2 '
8. ААВС — равносторонний, й ± а, \АВ\ = 3 см, \АО\ = 4 см. 80вс—? а) 0 ^; Ю/з. [ВС| = 4 см, \АО\ = 12 см. Р = |ОД + |ОС[ + |ВС| —? а; 22; Ь) 24; с; 26; </; 28; в; 30. е) 3; 11. 2. |АС| = \СЩ = |ДВ|, ССХ X р, ОО11 р,
4) 27;
4. ОМ 1 а, \ОМ\:\ОЩ = х: у =13:17, х + у = 30 см, \МК\ = 12 см, \МЕ\ = л/264 см, *-? у-? а; 21; 9; &; 9; 21; с; 13;17; й; 11;19; е) 10; 20. 8. АВСВ — квадрат, ОМ 1 а, \ОМ\ = 7см, \МК\ = 25 см \АВ\—?\МС\—? а,) 48; «34,6; Ь; 42; =34,6; с) 48; 35; Л) 35; 42; е; 48; «32,8.
64 ^ а, = 2-УЗ см, \Вр, = 4 см, ^Ч = 2 см. |А^|—V
<г; 8; е; ю. 6. А5С1)—ромб, ДЛеа, ОС\\ а. ОВ11 а, СС1±а. 1РЩ - 2 см, 1ЖУ = 4 см, 1 = 1 см. 1 5 3 а) 9.; *;
3;5; в/|;|? 7. |АВ| = |АС| = 17 см, \ВС\ = 16 см 011а, \ОА\ ^8 см, АК1 ВС.
9. О — центр вписанной окружности, ОМ± (ЛВС), \АС\ = 13 см, С| = 14см,|АВ| = 15см, \МСХ\ = 5 см, | ОМ\ = х --? с; 1; Ь; 1,5; с; 2; й; 3; е; 3,5. 10. АВСО — ромб, О — центр вписанной окружности, ОМ! (АВСО) АА = 45°, \АВ\ = 4 см, \МК\ = 3 см, а) л/7; ь; „/5; с; 273; й; 3^/2; е) 2/5. к^ А 45 Тесты 2.3
1. О — центр вписанной окружности, г = |(Ж] = 1,2 дм, ОМ'1 (АВС), \ОМ\ = 0,9 дм, \МЩ —?
^ 1,5; Ь; 1,4; с) 1,3; й; 1,35; е) 1,49.
Е 2. \АС\ = \АВ\ - 17 см, \ВС\ = 16 см. О — центр описанной окружности. ОК1, (ЛВС), \ОЩ = 5 см, \АЩ? 5/2; 8. АВСВ— ромб.,/А - 60°, |ДО| = 4 см. О — точка пересечения диагоналехЗ. \ОЩ 2Д\А а) 2/7; с) й) е) 5У2. 4. АВСО— трапеция, \АЦ = 'I, \АВ\ - 8 см. О — центр описанной окружности. ОМ 1 (АВСВ) \ОМ\ = 3 см. \МС\ —? ' а) 4; Ъ) 5; 6. ААВС — равносторонний, \АВ\ = 6 см, ОР1 (ЛВС), \РС\ = 4 см, |ОЛ = х—? а) \; Ъ)\\ с) 1,5; (1)2; е) 2,5. 7) |АВ| = 2 см, \АС\ = 6,5 м, \ВС\ = 7,5 м. а) 5,2; &; 5,4; с) 5,8; й; 6; е> 6,2. 8) а || (3, \АВ\ = 17 см, |БАХ| = 8 см, ^ 23; 6,125; с) 27; ^30; е) 35. 9) АВС1) — квадрат. \АВ\ = 7 дм. /ВВЕ—? а; 30°; &; 35°; с; 40°; й) 45°; е> 60°. 10) АВС, АВС1 — равнобедренные и прямоугольные треугольники. \АВ\ = 12 см. а 1Р.1СС,!-? О. ГЛАВА IV. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ §21. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ Координатами вообще называют числа, определяющие положение точки. Вы знакомы с прямоугольными координатами на плоскости. Аналогично можно рассмотреть систему координат и в пространстве. Пусть ос, у, г — три попарно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О (рис. 51, а). Назовем их координатными осями, а точку О — главной точкой координат. Каждая ось разбивается точкой Она две полуоси — положительную, отмеченную стрелкой, и отрицательную. Каждая пара координатных осей: хшу, х л г, у я г определяют координатные плоскости (рис. 51, б). Координатные плоскости разбивают все пространство на восемь частей (октантов) (рис. 51, а). а) б) Рис. 51 Если задана такая система координат, то каждой точке пространства соответственно можно поставить упорядоченную тройку действительных чисел, а каждой тройке чисел — единственную точку. Пусть дана пространственная точка М. Опустим из нее на плоскости у г, хг, ху перпендикуляры ММх, ММ, ММх (рис. 52). Длины этих перпендикуляров, взятые с соответствующими знаками, называют координатами точки М. В этом случае записываем: М(а, Ъ, с). Если точка лежит в какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю, а если на оси координат, то две координаты такой точки — нули. Например, точка N{-2,0,5!) лежит в плоскости хг, а точка К{7,0,0) — на оси Ох.
I
Применение метода координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией. Одним из ее создателей был знаменитый французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650). Поэтому прямоугольные координаты часто называют декартовыми. §22. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ 1. Расстояние между двумя точками. Найдем формулу, выражающую расстояние между двумя точками А{х1;у1;г1) и В(х2;у2;г2) через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая АВ не параллельна оси Ог, как показано на рисунке 53. Проведем через точки А и В прямые, параллельные оси Ог. Они пересекут плоскость ху в точках Аг и Вг. Первая и вторая координаты этих точек такие же, как у точек А и Б, а третья координата у них равна нулю. Проведем через точку В плоскость, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую ААг в некоторой точке С. По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + СВ2. Отрезки СВ и АВг равны и, как известно из планиметрии, А В 2 = {х2 - хх)2 + (у2 - уг)2, \АС\ = \г2 - гД. Поэтому АВ2 = {х2 - хгУ + (у2 - г// + (г2 -2Х)2. Если отрезок АВ параллелен оси Ог, то \АВ\ = \г2 - гг\. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае х% = х2, Ух = Уг Таким образом, расстояние между точками Аи В вычисляется по формуле \АВ\ = л/(*2~*1 У + (У 2-У 1У + (г 2^1? (1) Эта формула часто применяется во многих разделах математики и физики. Задача 1. Даны вершины треугольника: А(4; 4; -1), 13(7; 8; -1), С(-4; 4; -1). Вычислить периметр треугольника. Решение. Из формулы (1): АВ2= (7 - 4)2 + (8 -4)2 + (-1 + 1)2 = 25,. АС2 = (-4 - 4)2 + (4 - 4)2 + (-1 + I)2 = 64, ВС2 = (-4 - 7)2 + (4 - 8)2 + (-1 + I)2 = 137. Отсюда Р = 5 + 8 + л/137 = 13 + Л37. 2. Координаты середины отрезка. С помощью формулы (1) можно найти координаты середины С(х, у, г) отрезка АВ, концы которого А(хг, у1,г1)и В(х2, у2, г2):
Х="^^Я_ у=У1+У2
2 ' " 2 Задача 2. В задаче 1 вычислить длину медианы ВВХ. Решение.В,(1,1/,г)- середина отрезка АС. По формуле (2): „==
значит, В^О, 4, -1). Отсюда §23. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В ПРОСТРАНСТВЕ ' Определение. Параллельным переносом, в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х.у.г) фигуры переходит в точку (х+ а;у + Ь; г + с), где а, Ъ, с — постоянные. Параллельный перенос в пространстве задается формулами х' = х + а, у' = у + Ь, г1' — г + с, выражающими координаты (х1, у', г1) точки, в которую переходит точка (х, у, г) при параллельном переносе. Так же, как на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса. 1. Параллельный перенос есть движение. 2. При параллельном переносе точки смещаются по парал 3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в 4. Каковы бы ни были точки Хж X', существует единственный В пространстве добавляется еще одно свойство параллельного переноса.
5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость Докажем последнее свойство. Пусть а — произвольная плоскость (рис. 54). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и Ъ. При параллельном переносе прямые ашЬ переходят либо в себя, либо в параллельные прямые а1 и Ь1. Плоскость а переходит в некоторую плоскость а1, проходящую через прямые а1 и Ъ1. Если плоскость а1 не совпадает с а, то по теореме 8 она параллельна а. Что и требовалось доказать. Вопросы и задания 1. Сколько координат имеет точка в пространстве? 2. Как найти координаты точки в пространстве? 3. Запишите формулу расстояния между двумя точками через координаты этих 4. Какими формулами определяются координаты середины отрезка?
15. Дайте определение параллельного переноса. 16. Перечислите свойства параллельного переноса. Задачи 173. Даны точки А(1; 7; 4), Б(3; 0; 0), С(1; 2; 0), 1X0; 5; 1). Какие из этих 174. Дана точка М(2; 4; 6). Найдите основания перпендикуляров, 175. Даны вершины А(1; -3; 0), В(-2; -4; 1), С(-3; 1; 1), Х>(0; 2; 0) 176. Найдите расстояния от точки (2; -2; 3) до: 1) координатных 177. Какая из точек: А(2; 1; 5) или В(-2; 1; 6) — лежит ближе к началу 178. При параллельном переносе точка А(3; 2; -1) переходит в точку
179. Даны точки М (0; 1; 1), Щ2; -1; 3), Щ-1; у; 0). Найдите такое 180. Найдите координаты точки, лежащей на оси у и равноудаленной 181. Найдите координаты точки, лежащей в плоскости ху и равно 182. Докажите, что четырехугольник АВСВ является ромбом, если: 183. Найдите координаты вершины В параллелограмма АВСВ, если АЩ 2; -1), В(1; -8; 2), С(-4; 2; 1). 184. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А пере §24. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты. Определение. Координатами вектора АВ, начало которого точка А{х1, ух, гх), а конец — точка В(х2, у2, гг), называются числа. ,ах = х2 — хх, п2 — у2 — ух, а.3~ г2 — гх. Записывают такой вектор, указывая его координаты: АВ(а1, а2, а3) или а (ах, а2, ав). Например, если точки А(4; 0; 3) и 5(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка АВ, тогда ^ = 0-4 =-4, а2 = 6-0 = 6, а3 = 4-3 = 1. Значит, направленному отрезку АВ соответствует вектор а (-4; 6; 1) (рис. 55).
Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства. Длину вектора а (ах, а2, а8) можно выразить через его координаты. Отложим Рис. 55
вектор а от начала координат (рис. 56). Тогда четырехугольник ОРАЫ — прямоугольник. Его стороны равны ах и а2, поэтому ОА2 = а\ + а\. В прямоугольном треугольнике ОАА второй катет \АА\=ая Date: 2015-04-23; view: 4386; Нарушение авторских прав |