Критерій означеності сумісної с-ми лін.рів-нь

Сумісна с-ма лін.рів-нь означена тоді і тільки тоді,коли її ранг дорівнює кількості невідомих. rang=n

._▲ Необхідність. Нехай S-означена. Покажемо,що rang S=n.

Нехай(α₁,…,α_n)-єдиний розв’язок S,значить α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n=b (1)

Припустимо супротивне:

rang S<n,значить rang S=

=rang A= rang(v₁,…,v_n)<n. v₁,…,v_n-лін.залеж. Існує λ₁,λ₂,…,λ_n є R:λ_і≠0 і λ₁v₁+…+λ_nv_n=Θ (2).

(1)+(2):(α₁+λ₁) v₁+… +(α_n+λn)v_n=b.Значить (α₁+λ₁,…, α_n+λn) є Х_s.

α_іо+α_іо≠α_іо це інший розв’язок.С-ма S має 2 різні розв’язки, вона неозначена; протирічча умові,значить rang S=n.

Достатність. Нехай rang S=n,покажемо,що S-означена. rang S=

=rang A= rang(v₁,…,v_n)=n v₁,…,v_n-лінійно незалежні.S-сумісна, значить b виражається через v₁,…,v_n.Оскільки v₁,…,v_n-незалежні,то це вираження однозначне, т.б.S-означена._▲

Наслідок.

Сумісна с-ма неозначена тоді і тільки тоді,коли її ранг менше кількості невідомих.

Приклад.

~ ~ ~

rang A=3, rang Ã=4. С-ма несумісна, розв’язків немає.