Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Делимость





 

Вопрос о делимости натуральных чисел, то есть вопрос о том, делится ли данное натуральное число на какие-либо другие натуральные числа, является важным для математической теории и практики. Недаром издревле широко известен факт, связанный именно с делимостью. Он состоит в том, что все натуральные числа распадаются на два множества: множество чётных чисел (то есть чисел, которые делятся на два) и множество нечётных чисел (то есть чисел, которые не делятся на два).

Если натуральное число n делится на число m, то говорят, что число n кратно числу m. Числа кратные числу m образуют арифметическую прогрессию, разность и первый член которой равны m. Общий член этой прогрессии аk равен k∙m. Ясно, что в этой прогрессии простым числом может быть только первый член, равный m, так как остальные её члены неравны m и делятся на m.

На этом обстоятельстве основан известный в древней Греции метод построения последовательности простых чисел, называемый решетом Эрастосфена. Сначала выписывают все натуральные числа, начиная с двойки (единицу по традиции не принято считать простым числом). Затем вычёркивают из последовательности все чётные числа кроме двойки. Двойка становится первым простым числом. За ней следует тройка – второе простое число. Остальные числа, кратные трём, следует вычеркнуть (если они ещё не вычеркнуты). Третьим простым числом становится пятёрка, а числа, кратные пяти, удаляются из последовательности. Этот процесс позволяет выявить все простые числа.

 

4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25

Иногда для решения вопроса о кратности одного числа другому нет необходимости выполнять деление. Для чисел, записанных в десятичной позиционной системе счисления, используются так называемые признаки делимости. Они основаны на следующем факте, связанном с законом дистрибутивности.



Прежде всего, следует вспомнить определение делимости: если для некоторого натурального числа с выполняется равенство а = b∙с, то говорят, что натуральное число а делится на натуральное число b. Пусть число а делится на b (то есть для некоторого с1 выполняется равенство а = b∙с1) и, кроме того, верно равенство а = b·с2 + d, где d ≥ 0 (легко понять, что с1 больше или равно с2), тогда число d должно делиться на b. Действительно, поскольку а = b∙с1 = b·с2 + d, получаем, что d = b∙с1 – b·с2 = b∙(с1 – с2). Таким образом, либо d = 0 (если с1 = с2), либо d делится на b.

Для получения признаков делимости на 10, 2 и 5 применяются сходные рассуждения. Пусть задано число а = аn·10n + аn – 1·10n – 1 + … + а1·10 + а0, тогда

 

1) а = 10·(аn·10n–1 + аn – 1·10n – 2 + … + а1) + а0, и для того, чтобы аделилось на 10, на десять должно делиться число а0, которое меньше 10. Это возможно лишь при условии а0 = 0. Признак делимости на 10: число делится на 10, если последняя цифра десятичной записи числа а является нулём.

2) а = 2·(5·аn·10n–1 + 5·аn – 1·10n – 2 + … + 5·а1) + а0. Признак делимости на 2: число делится на 2, если последняя цифра задаёт чётное число (0, 2, 4, 6, 8).

3) а = 5·(2·аn·10n–1 + 2·аn – 1·10n – 2 + … + 2·а1) + а0. Признак делимости на 5: число делится на 5, если последняя цифра задаёт число, кратное 5 (0, 5).

Аналогично может быть получен и признак делимости на 4, однако, он более тяжеловесен, поскольку десять не делится на 4. Поскольку на 4 делится 100, имеем а = 100·(аn·10n–2 + аn – 1·10n – 3 + … + а2) + а1·10 + а0. Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, задаваемое двумя последними цифрами, кратно 4.

Для получения признаков делимости на 3 и на 9 используются более сложные преобразования, касающиеся каждого слагаемого в десятичной записи и основанные на том, что 10n – 1 = 9·10n–1 + 9·10n – 2 + … + 9 или 10n = 9·(10n–1 + 10n – 2 + … + 1) + 1 = 9. Таким образом, аn·10n = 9·аn·сn + аn, где сn = 10n–1 + 10n – 2 + … + 1.

Пусть задано число а = аn·10n + аn–1·10n – 1 + … + а1·10 + а0, тогда число а может быть преобразовано к виду а = 9·с + (аn+ аn–1+ …+ а1+ а0). В результате получаются сходные признаки делимости на 3 и на 9: число делится на 3 (соответственно на 9), если на 3 (соответственно на 9) делится сумма цифр этого числа.

Одним из способов выявления структуры натуральных чисел является их разложение на множители. В частности при этом может быть выявлен тот факт, что число является простым. Разложение числа n на множители производится по следующей схеме. Выписываются все простые числа, не превосходящие n. Если n равно последнему простому числу в последовательности, то оно является простым числом и разложение закончено. В противном случае пытаемся разделить n на два. Если деление удалось, снова делим частное на 2. Так продолжается, пока деление на 2 не станет невозможным. Затем таким же образом делается попытка деления на 3, 5, 7 и т. д. Процесс завершается, когда очередное частное оказывается простым числом. Для примера разложим на множители число 18. Делим 18 на 2, результат равен 9. Число 9 на 2 не делится. Делим 9 на 3, результат равен 3. процесс завершён. В результате получено разложение 18 = 2·3·3 = 2·32. Интуитивно ясно, что разложение числа на простые множители проводится однозначно.



Разложение на множители можно продемонстрировать физически с помощью совокупности предметов.

 

Чем больше сомножителей, тем многослойней структура, демонстрирующая характер разложения. Наоборот, простое число соответствует распределению всех элементов на отрезке.








Date: 2015-05-04; view: 593; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.021 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию