Формулы сокращённого умножения

Перечисленные выше арифметические законы переносятся с натуральных чисел на их обобщения – целые, рациональные и действительные числа, а также на ещё более абстрактные объекты, такие как комплексные числа, векторы и функции. Таким образом, натуральные (то есть как бы существующие в реальности) числа являются прообразом других важнейших математических объектов (реальность которых менее очевидна).

Особенно важно следующее обстоятельство. Хотя исходная цель арифметики – непосредственная работа с числами, необходимость проведения общих рассуждений, особенно нахождение неизвестных чисел по известным числам и условиям, привела к возникновению символических обозначений, сначала для неизвестных, а потом и для известных чисел. Без символических обозначений нельзя было бы удовлетворительно описать арифметические законы, а также проводить символические вычисления, подобные перемножению скобок.

Запись арифметических операций над числами или их символическими обозначениями называют формулой. Очень часто формулы содержат знак равенства и в этом случае называются равенствами.

Формулы имеют различное назначение, в том числе:

1. Формулы могут рассматриваться как алгоритмы вычислений, то есть как описание порядка действий, которые нужно проделать для решения той или иной задачи.

2. Формулы описывают общие правила преобразования числовых и символических выражений (например, законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности).

3. Формулы описывают правила преобразования числовых и символических выражений в некоторых особых случаях (таковы формулы сокращённого умножения).

Хотя существует общий способ перемножения скобок, есть особо важные и распространённые случаи, называемые формулами сокращённого умножения. Их вывод не представляет сложности и состоит в последовательном перемножении соответствующих скобок.

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a ² + a · b + b · a + b ² = a ² + 2 · a · b + b ²

(a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) = (a ² + 2 · a · b + b ²) (a + b) =

a ³ + 2 ·a ² ·b + a b ² + a ² b + 2 ·a·b ² + b ³ = a ³ + 3 ·a ² ·b + 3 ·a·b ² + b ³