Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Ассоциативность Коммутативность Ассоциативность Умножение





 

Используя законы умножения, можно получить некоторые свойства операции деления. Пусть, a = b с d, тогда a = (b с) d, то есть a : (b с) = d. С другой стороны (a : b) : с = (с d) : с = d, то есть (a : b) : с = a : (b с).

Наличие геометрического истолкования умножения и его большая практическая важность указывает на существование глубокой связи числовых отношений и простых геометрических форм. По крайней мере, становится ясным, что истолкование смысла арифметических операций хотя бы отчасти связано с упорядоченным расположением предметов в пространстве.

4.

Арифметика, натуральные числа.
Перемножение скобок и закон дистрибутивности.

 

Геометрическое истолкование умножения позволяет понять смысл закона, связывающего операции сложения и умножения. Речь идёт о законе дистрибутивности.

Произведение чисел aиd можно рассматривать как выражение для площади прямоугольника со сторонами aиd. Разобьём сторону длиной d на две части, длины которых обозначим через bиc (таким образом, d = b+c). Исходный прямоугольник будет разбит на две части, сумма площадей которых как раз и равна площади исходного прямоугольника. Символически это обстоятельство можно записать в виде равенства a · (b+c) = a · b + a · c, которое выражает закон дистрибутивности.

 

Закон дистрибутивности позволяет перемножать скобки, содержащие любое количество слагаемых. При этом могут использоваться два подхода. Первый состоит в том, что исходное выражение преобразуется по законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. В этом состоит основной принцип алгебраических вычислений, приводящий к выводу новых формул. Приведём пример перемножения двух скобок, содержащих по два слагаемых:

(p + q) · (r + s) = (p + q) · r + (p + q) · s = r · (p + q) + s · (p + q) =

r · p + r · q + s · p + s · q

Второй подход основан на геометрическом истолковании умножения. Одну сторону прямоугольника разбивают на отрезки, число которых равно числу слагаемых в первой скобке, и возле каждого отрезка записывают одно из этих слагаемых. Со второй стороной прямоугольника поступают аналогично, применительно ко второй скобке. Проводя через точки деления вертикальные и горизонтальные линии, разбивают исходный прямоугольник на малые прямоугольники, в каждый из которых вписывают его площадь, равную произведению длин его сторон. Можно сказать, что исходный прямоугольник превратится в таблицу, клетками которой являются малые прямоугольники. Площадь большого прямоугольника одновременно равна произведению скобок и сумме малых прямоугольников. В итоге можно сформулировать правило: произведение скобок равно сумме всех попарных произведений каждого слагаемого из первой скобки на каждое слагаемое второй скобки.



5.

Арифметика, натуральные числа.
Степени и корни.

 

По определению an = а · а · а · … · а · а(читается: а в степени n).

 

Особые названия, связанные с геометрическим истолкованием произведения, имеют степени a2 – квадрат, a3 – куб, a4 – биквадрат (двойной квадрат).

Символически обозначив операцию возведения в степень и получаемый при этом результат с помощью равенства an = c, мы можем перечислить соответствующие термины, используемые в арифметике:

а – основание степени, n – показатель степени, с – степень (n-я).

Легко понять, что а ≥ с, при этом равенство возможно только при а =1.

an ∙ am = an+m
Используя определение степени можно получить основные правила для перемножения и деления степеней.

1. an ∙ am = а · а · а · … · а · а · а · а · а · … · а · а = an+m.

 
 


 
 

 


Таким образом, при перемножении степеней с равными основаниями показатели степеней складываются.

2. Аналогично доказывается, что при делении степеней с равными основаниями показатели степеней вычитаются (n > m).

3. (an)m = · аn · аn · …· аn · аn = а · а · а · … · а · а = an∙m.

 

 

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

4. an ∙ bn = а · а · … · а · a · b · b · … · b · b = (ab)n.

 

При перемножении степеней с равными показателями основания степени перемножаются.

Если заданы основание степениа и показатель степени n, то мы можем вычислить соответствующую степень an = c. Иногда возникает обратная задача: заданы степеньс и её показатель n, нужно определить основание степени а. Поскольку пока мы говорим только о натуральных числах, искомое число а можно вычислить, перебрав все n-е степени натуральных чисел от 1 до с, то есть числа 1n, 2n, … cn, и сравнив их с числом с. Если одно из них (an) совпадёт с с, то основание степени (а) найдено. Говорят, что а является корнем n-й степени из числа с. Это обстоятельство выражают записью: . В случае когда n = 2, корень называют квадратным и не указывают степень: . Корень третьей степени называют кубическим. Для произвольных натуральных чисел с и n операция извлечения корня ( ) выполняется далеко не всегда, например, не существует натурального числа а, равного .



Из свойств степеней вытекают некоторые свойства корней:

, , .

6.

Арифметика, натуральные числа.
Натуральные числа и измерение отрезков.

 

Геометрически натуральные числа принято изображать как уходящую в бесконечность последовательность равноотстоящих друг от друга точек, расположенных на луче. Данный образ хорошо передаёт суть счёта как последовательного перечисления однородных предметов, связанного с движением во времени. Здесь наглядно проявляется тот факт, что числами (и числительными) обозначается не только количество предметов, но и их порядок при счёте.

 

Понятие порядка является одним из важнейших в математике. Первым из натуральных чисел является единица, а каждое последующее число получается из предыдущего с помощью добавления единицы: 1, 2 = 1+ 1, 3 = 2 + 1 и т. д. Таким образом, чем больше натуральное число, тем дальше оно расположено от начала луча. Для обозначения порядка чисел и их относительной величины используются символы n < m (меньше), n ≤ m(меньше или равно), n > m (больше), n ≥ m (больше или равно), n = m (равно).

Геометрическое изображение натуральных чисел точками луча указывает на связь счёта с измерением отрезков. Фактически числовой луч превращён в линейку и позволяет измерить любой приложенный к ней отрезок и выразить его длину целым числом. Вообще же измерение отрезков является одной из самых естественных операций – речь идёт о подсчёте шагов при ходьбе.

Очень близкой к операции измерения отрезков является операция сравнения длины отрезков. Пусть, например, заданы два уже измеренных отрезка, длины которых равны n и m соответственно. Откладывая второй отрезок вдоль первого, можно установить, сколько раз он укладывается в первый и какой при этом остаётся остаток. Данная процедура даёт геометрический образ деления натуральных чисел с остатком.

 
 

 

 


Деление с остатком можно понимать как разбиение исходного множества из n элементов на два новых множества. Первое множество состоит из r элементов исходного множества, а второе состоит из q элементов, каждый из которых сам по себе является множеством, содержащим m элементов исходного. Если положить m равным десяти, мы придём к операции разбиения множества на десятки, что является важнейшим действием при записи чисел в десятичной системе счисления.

Простой способ деления числа n на число m с остатком таков. Из кучи, содержащей n предметов, последовательно удаляют совокупности по m предметов, считая число удалений (q), пока не останется r предметов, где r < m.








Date: 2015-05-04; view: 1191; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.022 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию