Точки перегиба графика функции

Пусть функция дифференцируема на (a, b). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке

M(x, f(x)) этого графика a < x < b, причем если касательная не параллельна оси Oy, тогда значение производной k=f ¢(x) конечно.

Определение 75. Кривая y = f(x) называется направленной выпуклостью вниз на (a,b), если она расположена не ниже любой касательной к графику функции на (a, b) (рис.45).

у у=f(x)

0 х

Рис.45

Определение 76. Кривая y = f(x) называется направленной выпуклостью вверх на (a, b), если она расположена не выше любой касательной к графику функции на (a, b) (рис.46).

y

y=f(x)

0 x

Рис.46

Теорема 49. (о направлении выпуклости).

Пусть "xÎ(a,b). Тогда

а) если , то кривая имеет на (a,b) выпуклость,

направленную вниз.

б) если , то кривая имеет выпуклость на ,

направленную вверх.

Доказательство. Пусть на . Пусть произволная точка. Покажем, что график функции лежит не ниже касательной, проходящей через точку . Уравнение касательной прямой в точке к кривой :

(1)

Разложим функцию в окрестности точки по формуле Тейлора:

; (2)

Так как по условию имеет на , то согласно теореме Тейлора формула (2) справедлива

. Вычитая из (2) (1) получим:

. Так как , то

или . Аналогично рассматривается случай . ¨

Пример 99. Определить направление выпуклости функции у = lnx в точке х = 2.

Решение. y = - 1/х² у"(2) = -1/4 < 0. Выпуклость функции направлена вверх.