Построение графиков функций

При построении графика функции y=f(x) можно придерживаться следующего плана:

1. Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной f(-x) = f(x), нечетной f(-x) = - f(x), периодической f(x +T) = f(x), где T - период функции (непериодической).

2. Найти точки пересечения графика с осями координат и про-

межутки на которых f(x) > 0 и f(x) < 0.

3. Найти асимптоты графика. Если существует ,

то х = х_o является вертикальной асимптотой. Если существуют

пределы , ,

то существует наклонная асимптота y = kx + b. Если существует

конечный предел , то имеется горизонтальная

асимптота у = А.

4. Найти производную y’.

5. Найти экстремумы и участки монотонности функции.

6. Найти y².

7. Найти точки перегиба, промежутки выпуклости вверх (вниз)

функции.

Пример 106. Построить график функции y = .

Решение.

1. Найдем область допустимых значений функции: х¹-1.

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат

(х = 0, у = -1), (х =1, у = 0).

3. Найдем горизонтальные асимптоты:

= ¥

x = -1 вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимп-

тоты:

=1,

= =-5.

Наклонная асимптота имеет уравнение y = x –5.

Найдем горизонтальные асимптоты:

= ¥ горизонтальных асимптот нет.

4. Найдем производную

= =0, Û x-1=0, x+5=0 Û

x=1, x= -5, x=1 - стационарные точки.

5. Определение интервалов монотонности:

>0 Û Û (x-1)(x+5)(x+1)²>0

+ + +

x

-5 - -1 1

Рис.48

x	(-∞;-5)	-5	(-5;-1)	(-1;1)		(1;+¥)
y´	+		-	+		+
y		-1

Есть точки перегиба (рис.49).

Рис.49