Решение. Так как x = tg y – обратная к у = аrctg x функция, то по формуле (18.12) получим

(arctg x)¢ =

Так как x = tg y – обратная к у = аrctg x функция, то по формуле (18.12) получим

y¢ =

6.18. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 36. (Ферма).

Пусть 1) "xÎ[a,b] $f (x),

2) $x₀Î(a,b): (max f (x_o) Ú min f (x_o))

3) $f ¢(x₀) x₀Î(a,b)

Тогда 1)-3) Þ f ¢(x_o) = 0.

Доказательство. Dx = x - x₀, Df = f(x) - f(x₀), f’(x₀-0) = f’(x₀+0)

"xÎ(x₀-d,x₀), "xÎ(x₀, x₀+d),

Геометрический смысл теоремы Ферма.

Если в точке x₀ дифференцируемая функция f(x) имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x₀, f(x₀)) касательная к графику функция y = f(x) параллельна оси Ox.

Примечание. Теорема неверна, если f(x)Î[a,b].

Пример 88. Функция y = x, xÎ[0,1] имеет maxf(1) = 1, но f’(1) ¹ 0,

f¢(1) = 1, minf(0) = 0 (рис.35).

у y = x

0 1 х

Рис.36

Физический смысл теоремы Ферма.

Вертикальная составляющая v скорости тела, брошенного под углом к горизонту, в точке x₀ максимального подъема равна нулю (Рис.36).

У

v v

v_x

v_y

0 x

Рис.37

Теорема 37. (Ролля). Пусть 1) "xÎ[a,b], $f (x)

2) f (x)ÎC[a,b]

3) "xÎ(a,b) $f ¢(x),

4) f (a) = f (b)

Тогда 1)-4) Þ $xÎ(a,b): f ¢(x) = 0.