Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Точки перегиба
Пусть функция f(x) дифференцируема при x = xo, а уравнение касательной к графику функции f(x) в точке . Если разность f(x) -Y(x) меняет знак при переходе через точку хo, то Эта точка называется точкой перегиба функции f(x).
Теорема 50. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть 1) , 2) хo - точка перегиба. Тогда 1),2) Þ = 0 Доказательство. Пусть ; уравнение касательной к графику функции в точке , то есть . Тогда в силу формулы Тейлора: при Если , то знак разности в некоторой окрестности совпадает со знаком числа . В этом случае разность не меняет знака в точке и, следовательно, не является точкой перегиба. Итак, если точка перегиба функции , то . ¨
Теорема 51. (достаточное условие перегиба) Пусть 1) $f’(x0) xÎ(a,b) 2) $f’’(x) "xÎ 3) f’’(x0 - 0)×f’’(x0 + 0)<0 Тогда 1)-3) Þ - точка перегиба. Доказательство. ; Знак такой же как и у С изменением знака второй производной меняется и знак . Следовательно, точка перегиба. ¨ Пример 100. Найти точки перегиба функции ; Решение. Найдем вторую производную (необходимое условие точки перегиба) меняет знак при переходе через точку . Следовательно, точка перегиба.
Пример 101. Дана функция f(x) = x3-3x2 - 4. Найти точки перегиба. Решение. (x=1точка возможного перегиба). меняет знак при переходе через x=1. Следовательно, x=1 точка перегиба.
Пример 102. Найти точку перегиба функции у = х1/3. Решение. Найдем вторую производную функции у = х1/3., получим у = 2/9х5/3. В точке х = 0 вторая производная не существует и вторая производная меняет знак при переходе через точку эту точку. Точка (0,0) – является точкой перегиба (рис.46).
у у=х1/ 3
0 х
Рис.46
|