Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Экстремум функции
Определение 74. Точка точка строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) при . В случае экстремума функции: = f(x) - f(x0) < 0 (максимум), = f(x) - f(x0) > 0 (минимум).
Локальный максимум или локальный минимум называются локальными экстремумами. Точки возможного экстремума функции называются стационарными.
Теорема 47. (необходимое условие экстремума). Пусть 1) 2) Тогда 1),2) . Доказательство. Так как - точка локального экстремума, то , где наибольшее или наименьшее значение, тогда по теореме Ферма . ¨
Геометрический смысл теоремы. В точках возможного экстремума касательные к графику функции параллельны оси Ох.
Примечание 1. Равенство лишь необходимое условие экстремума. Пример 94. не точка экстремума.
Примечание 2. Экстремум функции может существовать и в точке, где функция не имеет производной. Пример 95. . В точке х=0 экстремум функции, но производная в этой точке не существует.
Теорема 48. (достаточное условие строгого экстремума). Пусть 1) $f(x) "xÎU(x0, d) 2) f(x)ÎС1(U(x0, d)) (в точке функция может быть не дифференцируемой). Тогда 1)2) f(x0) = Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора для функции в точке : В формуле учтено, что . Остаток более высокого порядка малости, чем , поэтому знак совпадает со знаком . При четном зна- ки и совпадают в при точка локального минимума и при точка локального максимума. Если нечетное, то из совпадения знаков чисел и следует . Раз ность положительна при и отрицательна при . Функция возрастает в точке при и убывает при . ¨ Пример 95. Найти экстремум функции y = f(x) = x2. Решение. Найдем стационарные точки y¢ = 2x = 0. Точка x = 0 -стационарная точка. Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, х = 0 - точка минимума функции.
Пример 96. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Решение. найдем критические точки , решая уравнение, находим вычислим значения функции в критических точках и на концах отрез ка . наибольшее значение данной функции на отрезке равно , наименьшее -
Примечание 1. Если производная не меняет знака, то не является точкой экстремума.
Пример 97. Найти экстремум функции y = x3. Решение. Найдем стационарную точку у' = 3х2 = 0. Точка х=0-стационарная точка. Производная во всех точках неотрицательна и не меняет знака при переходе через точку х=0. Точка х=0 не является точкой экстремума.
Примечание 2. Теорема остается справедливой, если функция в самой точке не дифференцируема, а только непрерывна. Пример 98. в точке непрерывна, но не дифференцируема.
|